Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia z kuli czarnej gdy...

[123qwerty123]

Witam

Mam problem z zadaniem:
W pudełku znajduję się 6 kul, 3 białe i 3 czarne.
Z tego pojemnika wyciągnięto 3 kule po kolei i bez zwracania, oblicz prawdopodobieństwo tego że kula wyciągnięta jako trzecia jest biała gdy dwie wcześniejsze kule są czarne.

Z moich obliczeń wynika że prawdopodobieństwo o które chodzi wynosi \(\displaystyle{ \frac{18}{120}}\)
Teraz pytanie do Was, czy zgadzacie się z wynikiem? Niestety nie posiadam klucza odpowiedzi do tego zadania, więc potrzebuje by ktoś mi to sprawdził.

Pozdrawiam

[janusz47]

A jak doszedłeś do tego wyniku?

[Rafsaf]

Wygląda to na prawdopodobieństwo warunkowe choć nie jestem ekspertem, mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

[123qwerty123]

Cóż

1)Skąd to 120?
Nie wiem, z jakiegoś powodu uznałem że mamy tu do czynienia z zasadą mnożenia (chyba taka nazwa) - na pierwszą pozycję wybieramy jedną z 6 kul, na druga jedna z 5, na trzecią jedną z 4 co daje 120.
Teraz nie jestem pewien czy to jest dobrze.

Lecz teraz pisząc posta pomyślałem sobie że nas interesuje przypadek że wyciągniemy kule CCB, inne przypadki, choćby BCC, czy CBC nas nie interesują stąd kolejność jest ważna.
Jeśli zaś kolejność jest ważna a kule wyciągamy w kolejności i układamy w miejscu (od lewej) pierwszym, drugim i trzecim zatem mamy do czynienia z ciągiem.

Mam teraz wątpliwość czy użyć permutacji czy wariacji k elem. czy wariacji k elem. bez powtórzeń.
Permutacja zbioru (w tym przypadku 6 dwuelementowego) musi mieć 6 elementów więc raczej odpada.

Nie wiem zaś co począć z wariacją, który wzór zastosować.

Czym jest nazwa wariacja bez powtórzeń? O jakie powtórzenia chodzi?
Rozpatrzmy zbiór liczb (1,2,3,4,5,6)
Wariacji jest 36 bo \(\displaystyle{ 6 ^{2}}\) zaś wariacji bez powtórzeń jest 30.
Czy chodzi o gdy z tego zbioru wyciągniemy liczbę a to już na drugą pozycję nie możemy wsadzić tej liczby? Tzn nie może być para 11,22,33,44,55,66 - dobrze myślę? Tylko wtedy mi się wyniki zgadzają.

Lecz nie wiem dalej który wzór zastosować gdy mowa o kulach (gdyby były jednego koloru to bym je jeszcze "ocyfrował" ale że są białe i czarne to nie...)

[janusz47]

Model doświadczenia losowego złożonego - polegających na trzykrotnym losowaniu po kolei bez zwracania po jednej kuli z pudełka, zawierającego trzy kule białe i trzy czarne.

\(\displaystyle{ (\Omega, P ):}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \{(bbb), (bbc), (bcb), (bcc), (cbb), (cbc), (ccb), (ccc)\}.}\)

Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega:}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\omega&(bbb)&(bbc)&(bcb)&(bcc)&(cbb)&(cbc)&(ccb)&(ccc) \\ \hline
P(\omega)& 6}/120}&18/120&18/120&18/120&18/120&18/120}&18/120&6/120 \end{tabular}}\)

Z określenia prawdopodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ Pr(b|(cc) ) =\frac{Pr(bcc)}{Pr(cc)} = \frac{\frac{18}{120} }{\frac{18}{120}+ \frac{18}{120} +\frac{6}{120}}= \frac{18}{42} = \frac{3}{7}.}\)

Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa

W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 43\%}\) ogólnej liczby jego wyników, jeżeli w pierwszych dwóch losowaniach otrzymamy kule czarne, to w losowaniu trzecim wylosowaną kulą będzie kula biała.

[Rafsaf]

janusz47
\(\displaystyle{ Pr(b|(cc) ) =\frac{Pr(bcc)}{Pr(cc)} = \frac{\frac{18}{120} }{\frac{18}{120}+ \frac{18}{120} +\frac{6}{120}}= \frac{18}{42} = \frac{3}{7}}\)

W mianowniku błąd przy przepisywaniu jak sądzę, o jedno \(\displaystyle{ \frac{18}{120}}\) za dużo
Będzie wynosić to prawdopodobieństwo jednak \(\displaystyle{ \frac{18}{24}= \frac{3}{4}}\)

[123qwerty123]

Ja sie z Wami zgadzam
Jednak mam do Pana @janusz47 pytanie, skąd wziął Pan te tabelkę?
Ten rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze Omega?
Ja bym musiał to sobie rozpisywać niczym kostkę i policzyć, jest na to jakiś lepszy sposób?

[a4karo]

A nie prościej tak: skoro wyjęto dwie czarne, to została jedna czarna i trzy białe. Zatem prawdopodobieństwo, że trzecia będzie białą wynosi \(\displaystyle{ 3/4}\)

[janusz47]

Tabelka rozkładu prawdopodobieństwa powstała z rozpisania trzech etapów doświadczenia losowego.

[piasek101]

A nie prościej tak: skoro wyjęto dwie czarne, to została jedna czarna i trzy białe. Zatem prawdopodobieństwo, że trzecia będzie białą wynosi \(\displaystyle{ 3/4}\)

Zdecydowanie popieram takie podejście.
W warunkowym często możemy zawężać zadanie do jego ostatniej części.