Funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a

[NiceToMeetYou55]

Jak policzyć funkcję charakterystyczną rozkładu dwustronnego wykładniczego? Próbuję zrobić to z definicji funkcji charakterystycznej, ale coś mi nie wychodzi.

[bartek118]

Pokaż swoje próby.

[NiceToMeetYou55]

\(\displaystyle{ |x-m|>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\lambda}{2} \int_{ -\infty }^{ \infty } e^{-\lambda x+\lambda m+itx}= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda m}\left[\frac{e^{-(\lambda-it)x}}{it-\lambda}\right]_{ -\infty}^{ \infty }}\)
I dalej już się zacinam.
Mógłby mi to ktoś rozwiązać?

[bartek118]

Raczej rozpisz \(\displaystyle{ e^{i \varphi} = \cos (\varphi) + i \sin (\varphi)}\).

Prościej będzie chyba zrobić to najpierw dla \(\displaystyle{ m = 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda = 1}\), a potem skorzystać z tego, że jak \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{L}(m,\lambda)}\), to \(\displaystyle{ \lambda(X-m)}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{L}(0,1)}\).

[NiceToMeetYou55]

Wtedy zmieniają się jakoś granice całkowania, czy nadal jest \(\displaystyle{ - \infty}\) i \(\displaystyle{ \infty}\), bo to w sumie właśnie one sprawiają największy problem. Jak rozłożę \(\displaystyle{ e^{it}}\) to i tak nie policzę w tych granicach \(\displaystyle{ \sin {(it)}}\) i \(\displaystyle{ \cos {(it)}}\)?

[bartek118]

No okej, ale teraz zauważyłem, że pominęłaś moduły.

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) i \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}}\). Czyli
\(\displaystyle{ \varphi(t) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty e^{itx-|x|} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 e^{itx+x} \, dx + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{itx-x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-itx-x} \, dx + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{itx-x} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-x} \left( e^{-itx} + e^{itx} \right) \, dx = - i \int_0^\infty e^{-x} \sin(tx) \, dx,}\)

o ile się gdzieś nie machnąłem na szybko.