Oszacowanie liczby kul w urnie

[lukas333]

Mam zadanie o takie treści:
Z urny wylosowano \(\displaystyle{ 10}\) kul i je oznaczono a następnie wrzucono ponownie do urny i wymieszano. Następnie ponownie wylosowano \(\displaystyle{ 10}\) kul i okazało się, że jest wśród nich \(\displaystyle{ 7}\) kul wylosowanych poprzednio. Oszacować na podstawie tego początkową liczbę kul w urnie.

Nie wiem czy to dobrze robię, ale tak:
\(\displaystyle{ n}\) - liczba kul w urnie, \(\displaystyle{ n - 10}\) liczba kul nieoznakowanych.
Moc zbioru: \(\displaystyle{ \Omega = {n\choose 10} = \frac{n!}{10!(n-10)!}}\)

Moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) polegającego na wylosowaniu \(\displaystyle{ 7}\) kul oznaczonych i \(\displaystyle{ 3}\) nieoznaczonych:
\(\displaystyle{ A ={10\choose 7} \cdot {x - 10\choose 3}= \frac{10!}{7!3!} \cdot \frac{(n- 10)!}{3! \cdot (n-13)!}}\)


I teraz \(\displaystyle{ P(A) = \frac{A}{\Omega}}\)
tyle, że myślałem że z tego mi wyjdzie jakaś prosta funkcja (parabola albo coś) i będzie się dało oszacować gdzie jest największe prawdopodobieństwo, ale coś nie chce mi się poskracać. Dobrze to robię?

[janusz47]

Doświadczenie losowe jest dwuetapowe.

Wylosowanie \(\displaystyle{ 10}\) kul z \(\displaystyle{ N\geq 10}\) kul znajdujących się początkowo w urnie, oznaczenie ich i wrzucenie ponownie do urny - etap I.

Ponowne losowanie \(\displaystyle{ 10}\) kul z urny, wśród których było 7 kul oznaczonych - etap II.

Metoda podstawienia częstości

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie, że losując jedną kulę - wylosujemy kulę oznaczoną,

\(\displaystyle{ \begin{cases} X_{i}= 1 \ \ \mbox{gdy za i-tym razem wylosowano kulę oznakowaną} \\
0 \ \ \mbox{ w przeciwnym przypadku} \end{cases}}\)

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli oznaczonej

\(\displaystyle{ p(N, A) = \frac{{10\choose 1}{N-1\choose 9}10!}{{N\choose 10}10!}= \frac{10}{N}}\)

Częstość wylosowania kuli oznaczonej

\(\displaystyle{ f (A, X) = \frac{#(\{ i: x_{i}=1\})}{10} = \frac{7}{10}}\)

Z równania

\(\displaystyle{ \frac{10}{N} = \frac{7}{10},}\)

otrzymujemy oszacowanie liczby kul w urnie równe

\(\displaystyle{ \hat{N} = \frac{10\cdot 10}{7} \approx 15.}\)

Można też to oszacowanie liczby kul w urnie - otrzymać metodą momentów.

[lukas333]

Super, dzięki tyle że
\(\displaystyle{ \hat{N} = \frac{10\cdot 10}{7} \approx 14}\)

i 14 też mi wyszło metodą podstawiania we wzorze, który przedstawiłem wcześniej, ale dzięki za upewnienie że dobrze to robię.

[janusz47]

\(\displaystyle{ 14\frac{2}{7}}\) zaokrąglamy do \(\displaystyle{ 15.}\) jako "Entier".

[Premislav]

Co znowuż wymyśliłeś? Może Ty tak zaokrąglasz, ale to nie znaczy, że to jest poprawne, a „Entier" oznacza część całkowitą, a więc podłogę, a nie sufit. Proszę wziąść podrencznig.