Z okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) losujemy na chybił trafił trzy punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt, którego wierzchołkami są te punkty jest ostrokątny?
Jak do tego podejść?
Z okręgu
-
Bierut
- Użytkownik
- Posty: 686
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Z okręgu
Na razie podzielę się spostrzeżeniem.
Najpierw wybieramy dwa dowolne punkty z okręgu (pomijamy przypadek, w którym punkty stoją w tym samym miejscu oraz gdy tworzą średnicę okręgu). Prowadzimy przez nie takie dwie proste, z których każda przechodzi przez jeden z punktów oraz środek okręgu. W ten sposób proste dzielą okrąg na cztery łuki.
Wybieramy teraz trzeci punkt. Jeśli będzie leżał on na jednym z trzech łuków, które sąsiadują z dwoma poprzednio wybranymi punktami, to powstały trójkąt będzie rozwartokątny. Jeśli natomiast trzeci punkt będzie leżał na czwartym, niewybranym wcześniej łuku, to utworzony trójkąt będzie ostrokątny. Gdy trzeci punkt będzie leżał na końcu któregoś z łuków, to trójkąt będzie prostokątny (te przypadki można pominąć).
Oznaczmy teraz długość krótszego łuku, który łączy dwa początkowo wybrane punkty, jako \(\displaystyle{ x}\). Zgodnie z wcześniejszymi założeniami \(\displaystyle{ x\in(0,\pi R)}\).
Prawdopodobieństwo, że trzeci punkt utworzy trójkąt ostrokątny, wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{x}{2\pi R}}\)
Teraz trzeba wyrazić jakoś wartość \(\displaystyle{ x}\). Czy należy wziąć średnią wartość z przedziału \(\displaystyle{ (0,\pi R)}\)?
Wówczas ostatecznie:
\(\displaystyle{ P=\frac{0,5\pi R}{2\pi R}=0,25}\)
Najpierw wybieramy dwa dowolne punkty z okręgu (pomijamy przypadek, w którym punkty stoją w tym samym miejscu oraz gdy tworzą średnicę okręgu). Prowadzimy przez nie takie dwie proste, z których każda przechodzi przez jeden z punktów oraz środek okręgu. W ten sposób proste dzielą okrąg na cztery łuki.
Wybieramy teraz trzeci punkt. Jeśli będzie leżał on na jednym z trzech łuków, które sąsiadują z dwoma poprzednio wybranymi punktami, to powstały trójkąt będzie rozwartokątny. Jeśli natomiast trzeci punkt będzie leżał na czwartym, niewybranym wcześniej łuku, to utworzony trójkąt będzie ostrokątny. Gdy trzeci punkt będzie leżał na końcu któregoś z łuków, to trójkąt będzie prostokątny (te przypadki można pominąć).
Oznaczmy teraz długość krótszego łuku, który łączy dwa początkowo wybrane punkty, jako \(\displaystyle{ x}\). Zgodnie z wcześniejszymi założeniami \(\displaystyle{ x\in(0,\pi R)}\).
Prawdopodobieństwo, że trzeci punkt utworzy trójkąt ostrokątny, wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{x}{2\pi R}}\)
Teraz trzeba wyrazić jakoś wartość \(\displaystyle{ x}\). Czy należy wziąć średnią wartość z przedziału \(\displaystyle{ (0,\pi R)}\)?
Wówczas ostatecznie:
\(\displaystyle{ P=\frac{0,5\pi R}{2\pi R}=0,25}\)