Gęstość rozkładu mieszanego

[Joasia4512]

Ogólnie w zadaniu chodzi o wyznaczenie gęstości pewnego rozkładu. Liczyłam dystrybuantę i otrzymałam \(\displaystyle{ =P(N=0)+ \sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_0^s\frac{1}{(k-1)!} w^{k-1}e^{-w}dw \cdot \frac{1}{k!}e^{-1}}\)

Teraz pochodna, i sprawdzam czy całka z pochodnej jest równa 1 zgodnie z twierdzeniem: Jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą, \(\displaystyle{ F'}\) istnieje prawie wszędzie oraz \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} F'(s)ds =1}\), to \(\displaystyle{ F'}\) jest gęstością rozkładu o dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\).
Ale jak policzyć tę całkę?

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}f_{S_N} ds = \int_0^{\infty} e^{-1-s}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s^{n-1}}{n!(n-1)!} ds}\)