Kolorowe żarówki w sali

[Olala99]

Sala jest oświetlona 5 żarówkami. Wkręcono losowo żarówki żółte, czerwone, zielone i niebieskie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wkręcono co najmniej dwie żarówki żółte i co najmniej dwie czerwone.

[kerajs]

\(\displaystyle{ A}\) - dwie żarówki żółte i co najmniej dwie czerwone
\(\displaystyle{ A_1}\) - dwie żarówki żółte, dwie czerwone i inna
\(\displaystyle{ A_2}\) - dwie żarówki żółte, trzy czerwone
\(\displaystyle{ A_3}\) - trzy żarówki żółte, dwie czerwone

\(\displaystyle{ P \left( A \right) =P \left( A_1 \right) +P \left( A_2 \right) +P \left( A_3 \right) =\\= \left( \frac{1}{4} \right) ^2 \left( \frac{1}{4} \right) ^2 \left( \frac{2}{4} \right) \cdot \frac{5!}{2!2!} + \left( \frac{1}{4} \right) ^2 \left( \frac{1}{4} \right) ^3 \cdot \frac{5!}{2!3!} + \left( \frac{1}{4} \right) ^3 \left( \frac{1}{4} \right) ^2 \cdot \frac{5!}{3!2!}}\)

[kropka+]

Liczba wszystkich możliwości to liczba \(\displaystyle{ 5}\)-cio elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru \(\displaystyle{ 4}\)-ro elementowego, czyli

\(\displaystyle{ \left|\Omega \right| ={5+4-1 \choose 5}=56}\)

\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie polegające na tym, że wkręcono dwie żarówki żółte, dwie czerwone i dowolną piątą żarówkę spośród czterech kolorów

\(\displaystyle{ \left| A\right|=4}\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4}{56}= \frac{1}{14}}\)