Oblicz prawdopodobieństwo

[kamilm758]

Czy dobrze zrobiłem te zadania?

1. Rynek zaopatrzony jest w ten sam towar przez trzy fabryki. Pierwsza zaopatruje rynek w \(\displaystyle{ 50\%}\), druga w \(\displaystyle{ 30\%}\). Średni procent braków w produkcji pierwszej fabryki wynosi \(\displaystyle{ 3\%}\), drugiej \(\displaystyle{ 4\%}\), a trzeciej \(\displaystyle{ 5\%}\). Kupiona sztuka towaru okazała się brakiem. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z drugiej fabryki. Z której fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup tego towaru?

2. Kanałem łączności nadaje się tylko \(\displaystyle{ 3}\) rodzaje sygnałów: \(\displaystyle{ AAAA,\,BBBB,\,CCCC}\) odpowiednio z prawdopodobieństwami \(\displaystyle{ 0,4;\,0,3;\,0,3}\). Sygnały te podlegają niezależnie zakłóceniom, w rezultacie czego, np. litera \(\displaystyle{ A}\) może być odebrana jako \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\). Prawdopodobieństwo poprawnego przesłania albo przekłamania podaje tablica:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
&A&B&C \\ \hline
A&0,8&0,1&0,1 \\ \hline
B&0,1&0,8&0,1 \\ \hline
C&0,1&0,1&0,8 \\ \hline \end{tabular}}\)

a) Znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnałów \(\displaystyle{ CCCC}\) i \(\displaystyle{ ABCA}\).
b) Na wyjściu odebrano sygnały \(\displaystyle{ ACAB}\), \(\displaystyle{ BBCA}\). Obliczy prawdopodobieństwo, że zostały nadane jako \(\displaystyle{ BBBB}\).

Rozwiązania i pytania:

Zad 1.

Pierwsza firma
\(\displaystyle{ 0,5 \cdot 0,03=1,5%}\)
Druga firma
\(\displaystyle{ 0,3 \cdot 0,04=1,2%}\)
Trzecia firma
\(\displaystyle{ 0,2 \cdot 0,05=1%}\)
czyli \(\displaystyle{ p(a)= \frac{1,2}{3,7}}\)
Dobrze?

Zad 2.

przekłamanie na \(\displaystyle{ CCCC}\):
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ AAAA}\) to \(\displaystyle{ (0,1)^4}\)
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ BBBB}\) to \(\displaystyle{ (0,1)^4}\)
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ CCCC}\) to \(\displaystyle{ (0,8)^4}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ p(a)=0,4 \cdot (0,1)^4+0,3 \cdot (0,1)^4+0,3 \cdot (0,8)^4}\)

przekłamanie na \(\displaystyle{ ABCA}\):
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ AAAA}\) to \(\displaystyle{ 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8=0,0064}\)
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ BBBB}\) to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,1=0,008}\)
p-stwo przekłamania \(\displaystyle{ CCCC}\) to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,008}\)

czyli \(\displaystyle{ p(b)=0,4 \cdot 0,0064+0,3 \cdot 0,008 +0,3 \cdot 0,008}\)

Dobrze?

Nie mam pomysłu na podpunkt b).
Proszę o sprawdzenie i pomoc z podpunktem b).

[kerajs]

1)
Tu musisz liczyć prawdopodobieństwa warunkowe.
\(\displaystyle{ P(F_2|_{brak})= \frac{P(F_2 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)
Analogicznie policz
\(\displaystyle{ P(F_1|_{brak}))= \frac{P(F_1 \cap (brak))}{P(brak)}\\
P(F_3|_{brak})= \frac{P(F_3 \cap (brak))}{P(brak)}}\)
i wskaż największą z nich

2)
a)
DOBRZE
b)
Tu też są prawdopodobieństwa warunkowe
X-wysłano BBBB
Y-odebrano ACAB
\(\displaystyle{ P(Y|X)= \frac{P(Y \cap X)}{P(X)}=...}\)

[kamilm758]

czyli w pierwszym
\(\displaystyle{ P(F_1|_{brak})= \frac{P(F_1 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)


\(\displaystyle{ P(F_2|_{brak})= \frac{P(F_2 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)

\(\displaystyle{ P(F_3|_{brak})= \frac{P(F_3 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)


a p-stwo że brak pochodzi z 2 fabryki to \(\displaystyle{ p(a)= \frac{p(F_2}{p(F_1)+p(F_2)+p(F_3)}}\)
??
a w 2 b)
p-stwo że odebrano ACAB

AAAA to \(\displaystyle{ 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,0064}\)
BBBB to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,008}\)
CCCC to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,008}\)

czyli \(\displaystyle{ P(ACAB)=0,4 \cdot 0,0064+0,3 \cdot 0,008+0,3 \cdot 0,008}\)


\(\displaystyle{ P(Y|X)= \frac{P(Y \cap X)}{P(X)}= \frac{}{0,3}}\)

nie wiem za bardzo co za licznik wstawić mógłbyś pomóc?

[kerajs]

czyli w pierwszym
\(\displaystyle{ P(F_1|_{brak})= \frac{P(F_1 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)

\(\displaystyle{ P(F_2|_{brak})= \frac{P(F_2 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)

\(\displaystyle{ P(F_3|_{brak})= \frac{P(F_3 \cap (brak))}{P(brak)}= \frac{ \frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }{\frac{3}{100} \cdot \frac{50}{100} +\frac{4}{100} \cdot \frac{30}{100} +\frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} }}\)

OK
Odpowiedzią na pytania:

Kupiona sztuka towaru okazała się brakiem. 1) Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z drugiej fabryki. 2) Z której fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup tego towaru?

są:
1) \(\displaystyle{ P(F_2|_{brak})}\)
2) \(\displaystyle{ P(F_1|_{brak})}\)
bo \(\displaystyle{ P(F_1|_{brak})>P(F_2|_{brak})>P(F_3|_{brak})}\)

a w 2 b)
p-stwo że odebrano ACAB

AAAA to \(\displaystyle{ 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,0064}\)
BBBB to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,008}\)
CCCC to \(\displaystyle{ 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,1=0,008}\)

czyli \(\displaystyle{ P(ACAB)=0,4 \cdot 0,0064+0,3 \cdot 0,008+0,3 \cdot 0,008}\)

\(\displaystyle{ P(Y|X)= \frac{P(Y \cap X)}{P(X)}= \frac{}{0,3}}\)

nie wiem za bardzo co za licznik wstawić mógłbyś pomóc?

Sprawdź na kalkulatorze wyniki tych iloczynów.

Do licznika wstawiasz prawdopodobieństwo nadania BBBB i odebrania ACAB czyli \(\displaystyle{ 0,3 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,8=0,00024}\)