Własność braku pamięci

[NiceToMeetYou55]

Pokaż, że jedynym ciągłym rozkładem z własnością braku pamięci jest rozkład wykładniczy.

Doszłam do tego:
Własność braku pamięci oznacza, że
\(\displaystyle{ P(X>t+s|X>s)=P(X>t).}\)
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego,
\(\displaystyle{ P(X>t+s|X>s)=\frac{P(X>t+s, X>s)}{P(X>s)}=\frac{P(X>t+s)}{P(X>s)}.}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ P(X>t+s)=P(X>s)P(X>t).}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ f(t)=P(X>t).}\)
Mamy
\(\displaystyle{ f(t+s)=f(s)f(t).}\)

Tylko co dalej?

[leg14]

Pokaż, że równość z wykładniczym achodzi dla liczb naturalnych.
Pokaż, że jeśli zachodzi dla naturalnych, to zachodzi dla wymiernych.
Jeśli masz do czynienia z liczbami niewymiernymi, to korzystasz z tego, że każdą liczbę niewymierną można przybliżyć ciągiem liczb wymiernych

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ f(0)=1}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ x<0}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=1}\), a ponadto
można pokazać, że \(\displaystyle{ f\left( \frac m n\right) =\left( f(1)\right)^{\frac m n}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m\in \NN, \ n\in \NN^+}\), a więc z ciągłości
\(\displaystyle{ f(x)=\left( f(1)\right)^x}\) w nieujemnych, a także \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\).
I w tym przypadku otrzymujemy równość z rozkładem wykładniczym z pewnym parametrem \(\displaystyle{ 0<\lambda=-\ln(f(1))}\).
Natomiast możliwość \(\displaystyle{ f(0)=0}\) można chyba wykluczyć (te dwie możliwości wynikają z \(\displaystyle{ f(0+0)=f(0)f(0)=(f(0))^2}\)), o tym też trzeba pamiętać.
Analogicznie bowiem dostaniemy w tym wypadku \(\displaystyle{ f(x)=\left( f(-1)\right)^{-x}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) i biorąc granicę przy \(\displaystyle{ x\rightarrow 0^{-}}\) otrzymujemy…
(pamiętajmy, że ogon rozkładu absolutnie ciągłego musi być ciągły, ponieważ dystrybuanta rozkładu absolutnie ciągłego jest ciągła).-- 28 lut 2018, o 21:41 --Aha, \(\displaystyle{ f(1)=f\left( \underbrace{\frac 1 n+\ldots+\frac 1 n}_{n}\right) =\left( f\left( \frac 1 n\right) \right)^n}\) i \(\displaystyle{ f(m)=f\left( \underbrace{1+\ldots+1}_m\right) =(f(1))^m}\), to pokazujesz indukcyjnie. To się jeszcze przyda w celu pokazania tej własności z \(\displaystyle{ f\left( \frac m n\right)}\).