Gospodyni rozdziela pączki

[uczen23]

Gospodyni rozdzieliła 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa, że:
a) Ktoś nie dostanie pączka,
b) Każdy dostanie co najmniej 2 pączki.

Jak to zrobić. Wytłumaczy ktoś?

[Ania221]

b. Rozdać najpierw po 2 pączki każdemu, a potem resztę jak popadnie

\(\displaystyle{ C^2_{24}C^2_{22}C^2_{20}C^2_{18}C^2_{16}C^2_{14} \cdot 12^{6}}\)

[Rafsaf]

w b) chyba raczej
\(\displaystyle{ C^2_{24}C^2_{22}C^2_{20}C^2_{18}C^2_{16}C^2_{14} \cdot 6 ^{12}}\)

To chyba pączki wybierają sobie panów(czy panie)

zaś w a) wybieramy jedną osobę(której nic nie dajemy) i wszystkie pączki wędrują do pozostałych osób(każdy pączek trafia na 5 możliwości).

\(\displaystyle{ C ^1_{6} \cdot 5 ^{24}}\)

Chyba wiesz ile jest wszystkich możliwości na jakie można rozdzielić pączki i umiesz zrobić z tego prawdopodobieństwo.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = {24+6-1 \choose 6-1} \\
\left| A\right| =\left| \Omega\right|- { 24-1\choose 6-1} \\
\left| B\right| = {24-6-1 \choose 6-1}}\)

Edit:
Mała korekta.

[kamilm758]

a ten sposób?
a)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=24}\)

wszystkich możliwości \(\displaystyle{ \Omega={24+6-1 \choose 6-1}=118755}\)

każdy dostał po 1 pączku \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=24-6}\)

\(\displaystyle{ A={18+6-1 \choose 6-1}=33649}\)

ktos nie dostał pączka \(\displaystyle{ 118755-33649=85106}\)

czyli \(\displaystyle{ p(a)= \frac{85106}{118755}}\)

podpunkt b)

każdy dostał po 2 pączki \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=24-12}\)

resztę dzielimy jak leci:

\(\displaystyle{ {12+6-1 \choose 6-1}=6188}\)

czyli \(\displaystyle{ p(b)= \frac{6188}{118755}}\)

[kerajs]

To te same wyniki co w moim poscie.
Skoro zliczasz liczbę wszystkich podziałów w których każdy dostanie pączka to liczysz nie A ale A'.
Można też wprost, zliczając sumę podziałów z jedną osobą bez pączka, dwoma osobami bez pączka, ... i pięcioma osobami bez pączka
\(\displaystyle{ \left| A\right|= {6 \choose 1} {24-1 \choose 5-1} + {6 \choose 2} {24-1 \choose 4-1} + {6 \choose 3} {24-1 \choose 3-1} + {6 \choose 4} {24-1 \choose 2-1} + {6 \choose 1} {24-1 \choose 1-1}}\)