Niezależność zdarzeń

[adrion23]

Proszę o pomoc z tymi dwoma zadaniami. Będę bardzo wdzięczny.

Zadanie 1.

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są niezależne. Czy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) muszą być niezależne? Czy \(\displaystyle{ B}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ A \cup C}\) ? Czy \(\displaystyle{ B}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ A \cap C}\) . Uzasadnij.

Zadanie 2.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne, czy \(\displaystyle{ B^c}\) są niezależne? Uzasadnij.

[bartek118]

1. \(\displaystyle{ \Omega = \{ 1, 2, 3, 4\}}\) i niech \(\displaystyle{ A = \{1, 2 \}}\), \(\displaystyle{ B = \{4\}}\) i \(\displaystyle{ C = \{2,3\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne; niezależne są również \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), ale \(\displaystyle{ A \cap C = \{2\}}\).

Mamy
\(\displaystyle{ B \cap (A \cup C) = (B \cap A) \cup (B \cap C).}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{P} ( B \cap (A \cup C) ) = \mathbb{P} ( (B \cap A) \cup (B \cap C) ) \leq \mathbb{P} (B \cap A) + \mathbb{P} (B \cap C) = 0 + 0 = 0.}\)
zatem \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ A \cup C}\) są niezależne.

Sprawdzenie co z \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ A \cap C}\) pozostawiam Tobie.

2. Brakuje części treści.

[MrCommando]

bartek118, określenie, że zdarzenia są niezależne nie oznacza rozłączne. Zdarzenia \(\displaystyle{ A, B \subset \Omega}\) będą niezależne, jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)}\).

Chyba, że to ja nie zrozumiałem Twojego rozumowania..

[bartek118]

bartek118, określenie, że zdarzenia są niezależne nie oznacza rozłączne. Zdarzenia \(\displaystyle{ A, B \subset \Omega}\) będą niezależne, jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)}\).

Chyba, że to ja nie zrozumiałem Twojego rozumowania..

Masz rację oczywiście. Głupotę napisałem, nie wiem co i dlaczego sobie tymczasowo ubzdurałem. Chyba trochę odpoczynku od matematyki się przyda....