Problem z określeniem zbiorów zdarzeń sprzyjających

[kamilm758]

Dla zmniejszenia ogólnej liczby gier \(\displaystyle{ 2n}\) drużyn podzielono na dwie grupy po \(\displaystyle{ n}\) drużyn. Oblicz prawdopodobieństwa, że dwie najsilniejsze drużyny znajdują się w grupach:
a) różnych,
b) w tej samej.

Wziąłem sobie \(\displaystyle{ 2n=8}\) , czyli żeby \(\displaystyle{ 8}\) drużyn podzielić na \(\displaystyle{ 2}\) grupy, to trzeba podzielić na grupy po \(\displaystyle{ 4}\) drużyny. Czyli dla tego przypadku \(\displaystyle{ \Omega = {8 \choose 4}}\) , a \(\displaystyle{ 4}\) to połowa ośmiu, więc \(\displaystyle{ n=4}\) .

Czyli dla zadania:

\(\displaystyle{ \Omega = {2n \choose n}}\)

mam problem ze zbiorami zdarzeń sprzyjających dla obu podpunktów.

[MrCommando]

Jeśli chodzi o przestrzeń zdarzeń elementarnych, to należy jeszcze podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\) – zwróć uwagę, że wyrażenie \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) uwzględnia dwa razy te same zbiory (przydział dowolnych \(\displaystyle{ n}\) drużyn do pierwszej grupy determinuje jednoznacznie przydział pozostałych drużyn do drugiej grupy i na odwrót). Żeby sobie lepiej to uzmysłowić, spróbuj "ręcznie" obliczyć moc przestrzeni zdarzeń elementarnych dla \(\displaystyle{ n=2}\) . W tym zadaniu sensowniej (przynajmniej dla mnie) jest założyć, że obydwie grupy są nierozróżnialne. Wtedy mamy \(\displaystyle{ |\Omega|=\frac{1}{2} {2n \choose n}}\) .

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie polegające na takim rozmieszczeniu drużyn, że pewne dwie najsilniejsze drużyny będą w jednej grupie. Przyjmijmy, że spośród drużyn \(\displaystyle{ \{d_1,d_2,...,d_{2n}\}}\) pewne dwie najsilniejsze drużyny \(\displaystyle{ d_i}\) i \(\displaystyle{ d_j}\), \(\displaystyle{ 1 \leq i < j \leq 2n}\) trafiły do tej samej grupy. Wówczas pozostałych nierozmieszczonych drużyn jest \(\displaystyle{ 2n-2}\). Wówczas resztę drużyn, które zostaną przydzielone do jednej grupy z najsilniejszymi, można wybrać na \(\displaystyle{ {2n-2 \choose n-2}}\) sposobów. Wybór ten determinuje jednoznacznie rozmieszczenie pozostałych \(\displaystyle{ n}\) drużyn. Zatem mamy \(\displaystyle{ |A|= {2n-2 \choose n-2}}\) . Zauważmy, że dany wzór działa dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) . Przypadek \(\displaystyle{ n=1}\) należy rozpatrzeć oddzielnie. Jeśli zaś chodzi o podpunkt a), skorzystaj z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.

Tak na marginesie, gdybyś jednak uparł się na model zakładający rozróżnialność drużyn, tzn. \(\displaystyle{ |\Omega|= {2n \choose n}}\) , to wówczas moc zdarzenia sprzyjającego będziemy obliczać inaczej i będzie ona równa \(\displaystyle{ |A|=2 {2n-2 \choose n-2}}\) (zakładamy, że obydwie grupy są rozróżnialne).

[kropka+]

A nie można prościej zrobić tak?
Mamy dwie grupy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz cztery przypadki rozmieszczenia dwóch drużyn:

\(\displaystyle{ AA}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n} \cdot \frac{n-1}{2n-1}}\)

\(\displaystyle{ AB}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n} \cdot \frac{n}{2n-1}}\)

\(\displaystyle{ BA}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n} \cdot \frac{n}{2n-1}}\)

\(\displaystyle{ BB}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n} \cdot \frac{n-1}{2n-1}}\)

A więc prawdopodobieństwo, że obie drużyny są w jednej grupie to

\(\displaystyle{ P(AA)+P(BB)=2 \cdot \frac{n}{2n} \cdot \frac{n-1}{2n-1}= \frac{n-1}{2n-1}}\)

a prawdopodobieństwo, że drużyny są w różnych grupach to

\(\displaystyle{ P(AB)+P(BA)=2 \cdot \frac{n}{2n} \cdot \frac{n}{2n-1}= \frac{n}{2n-1}}\)

[MrCommando]

kropka+, oczywiście nie mówię, że nie, jednakże myślę, że sposób który zaproponowałem wyżej i tak bardziej skomplikowany nie jest (szczegółowy opis rozumowania co prawda jest długi, ale napisałem tak to po to, żeby autor tematu zrozumiał lepiej o co chodzi). Sama intuicja i obliczenia są równie nieskomplikowane jak przy metodzie zaproponowanej przez Ciebie, tak że jeśli chodzi o złożoność, to uznaję metody za zbliżone.

[uczen23]

Sorki że będę pisał bez LaTeXa, ale na komórce jestem i nie wiem jak.
Tu autor pytania jak coś.
Kropka+

Czyli mamy w grupy A oraz B i prawdopodobieństwo znalezienia się drużyny w jakiejś grupie to n/2n ?

[kropka+]

Pierwsza drużyna wchodzi do konkretnej grupy z p-stwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\) .

Druga drużyna wchodzi do tej samej grupy co pierwsza z p-stwem \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2n-1}}\) .

Druga drużyna wchodzi do innej grupy niż pierwsza z p-stwem \(\displaystyle{ \frac{n}{2n-1}}\) .