Rachunek prawdopodobieństwa

[kamilm758]

W kwadrat wpisano koło, w koło zaś trójkąt równoboczny. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu jest
a) punktem koła
b) punktem trójkąta.

totalnie nie mam pomysłu

[kropka+]

Możesz przyjąć, że bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy pole kwadratu wynosi też \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz pola koła i trójkąta. To będą szukane prawdopodobieństwa.

[kamilm758]

Czyli
promień koła to połowa długości boku kwadratu czyli \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2} \rightarrow P_{kola}= \frac{1}{4}\pi}\)

koło opisane na trójkącie, czyli z zależności \(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{2}{3}h \rightarrow h= \frac{3}{4}}\)
Pole
\(\displaystyle{ P_t= \frac{ (\frac{3}{4})^2 \sqrt{3} }{4}= \frac{9}{64} \sqrt{3}}\)

dobrze?
coś dalej trzeba robić?

[kropka+]

\(\displaystyle{ P_t= \frac{ (\frac{3}{4})^2 \sqrt{3} }{4}}\)

Skąd to się wzięło?

[kamilm758]

ahh dawno liczyłem te trójkąty.
oczywiście:
jeśli \(\displaystyle{ \frac{3}{4}= \frac{a\sqrt{3}}{2} \rightarrow a= \frac{6}{4\sqrt{3}}= \frac{6\sqrt{3}}{12}= \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

czyli pole to:

\(\displaystyle{ P_k= \frac{( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^2 \sqrt{3} }{4}= \frac{ \frac{3}{4} \sqrt{3} }{4}= \frac{3}{16} \sqrt{3}}\)

te pola są już prawdopodobieństwami? jeśli tak, to dlaczego?

[kropka+]

Teraz dobrze. Te pola to są szukane prawdopodobieństwa. Poczytaj o prawdopodobieństwie geometrycznym np. tutaj

[kamilm758]

dzięki wielkie