Jak wyliczyc gestosc

[RipvanWinkle]

Czesc,

Mam takie oto zadanie:
Gęstość rozkladu prawdopodobienstwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ x}\) jest dana wzorem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c &\mbox{dla }-2\le x<-1 \\ \frac23 &\mbox{dla }0 \le x \le 1 \\ 0 &\mbox{dla pozostałych }x \end{cases}}\)

Przy czym \(\displaystyle{ c}\) jest pewna stala:
a) Wyznacz \(\displaystyle{ c}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X<\frac12 \right)}\)
b) Wyznacz dystrybuante
c) Wyznacz wartosc oczekiwana i wariacje

Wiec, wiem ze wzor na gestosc to calka od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) i ma sie rownac \(\displaystyle{ 0}\).
Zaczalem to robic tak:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-1} c\, \mbox{d}x + \int_{-1}^{1} \frac23 \, \mbox{d}x + \int_{1}^{\infty} 0 \, \mbox{d}x = 1,}\)

ale na samym początku wyskakuje mi, że \(\displaystyle{ cx}\) dąży do nieskończoności i nie wiem czy dobrze to licze. Proszę o jakieś sugestie.

Dziekuje

[Benny01]

Pierwszą całkę liczysz na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -2,-1\right]}\)

[RipvanWinkle]

Gęstość liczy się wzorem:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1}\).

Dlaczego od \(\displaystyle{ -2}\), a nie od \(\displaystyle{ -\infty}\)? Reszta jest dobrze? Ostatnią całkę liczę do \(\displaystyle{ \infty}\)?

\(\displaystyle{ c}\) w tym równaniu wyniesie \(\displaystyle{ -\frac49}\) ?

Chciałbym jeszcze wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
Czy taka dystrybuanta będzie wyglądała ta: \(\displaystyle{ F(-2,1)}\)?

[Benny01]

Dlaczego od \(\displaystyle{ -2}\), a nie od \(\displaystyle{ -\infty}\)?

Jaki jest wzór funkcji na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ,-2)}\)?

\(\displaystyle{ c}\) w tym równaniu wyniesie \(\displaystyle{ -\frac49}\) ?

Nie

Chciałbym jeszcze wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
Czy taka dystrybuanta będzie wyglądała ta: \(\displaystyle{ F(-2,1)}\)?

Co to znaczy???

[RipvanWinkle]

Dlaczego od \(\displaystyle{ -2}\), a nie od \(\displaystyle{ -\infty}\)?

Jaki jest wzór funkcji na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ,-2)}\)?

\(\displaystyle{ 0}\)?

\(\displaystyle{ C}\) w tym równaniu wyniesie \(\displaystyle{ -\frac49}\) ?

Nie

W pierwszej całce liczyłem od \(\displaystyle{ -2}\) do \(\displaystyle{ 1}\), zamiast do \(\displaystyle{ -1}\). Wynik: \(\displaystyle{ C = -\frac43}\).

Chciałbym jeszcze wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
Czy taka dystrybuanta będzie wyglądała tak: \(\displaystyle{ F(-2,1)}\)?

Co to znaczy???

W zadaniu nie ma napisanego przedzialu dystrybuanty. Hm, dystrybuance powinienem wyznaczac przedzialami.
Czyli dla \(\displaystyle{ -2 \le x < -1}\) będzie jedna
dla \(\displaystyle{ 0 \le x 1}\) będzie druga...

[Benny01]

Funkcja nie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ,-2)}\), więc całki nie możesz tam liczyć.
Stała dalej źle wyznaczona.
Dystrybuantę wyznaczasz po prostu przedziałami.

[RipvanWinkle]

\(\displaystyle{ \begin{cases} c &\mbox{dla }-2\le x<-1 \\ \frac23 &\mbox{dla }0 \le x \le 1 \\ 0 &\mbox{dla pozostałych }x \end{cases}}\)

Aby wyznaczyc \(\displaystyle{ C}\), licze \(\displaystyle{ \int_{-2}^{-1} c dx + \int_{-1}^{1} \frac23 dx}\)

Dystrybuante licze po prostu tak?
Dla \(\displaystyle{ \left\langle -2, -1 \right\rangle}\): \(\displaystyle{ \int_{-2}^{-1} c}\)
Dla \(\displaystyle{ \left\langle 0, 1 \right\rangle}\): \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac23}\)

Jeśli podczas liczenia \(\displaystyle{ c}\) mam po prawej stronie \(\displaystyle{ 1}\) to wynik: \(\displaystyle{ \frac13}\)?