Zbieżność w Lp

[Wiesiek7]

Witajcie Mam zadanie.

Dane są ciągi zmiennych \(\displaystyle{ X_{n} , Y_{n}}\), przy czym \(\displaystyle{ X_{n} \rightarrow X}\) w \(\displaystyle{ L^{p}}\) oraz \(\displaystyle{ Y_{n} \rightarrow Y}\) w \(\displaystyle{ L^{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q>1}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{q}+ \frac{1}{p}=1}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ X_{n}Y_{n}}\) zbiega w \(\displaystyle{ L^{1}}\) do \(\displaystyle{ XY}\).

Proszę o pomoc

[Premislav]

Wskazówka: zastosuj nierówność Höldera.

[Wiesiek7]

Własnie to wiem, ale jakoś się zaciąłem i nie wiem co dalej :/
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } E( X_{n}Y _{n}-XY)= \lim_{n \to \infty } E( X_{n}Y _{n})-EXY}\)
\(\displaystyle{ E(X_{n}Y_{n}) \le (E( X_{n})^{p} ) ^{ \frac{1}{p} } \cdot (E(Y_{n})^{q} ) ^{ \frac{1}{q} }}\)

I jak teraz udowodnić, że to dąży do \(\displaystyle{ E(XY)}\) ?

[bartek118]

Raczej
\(\displaystyle{ \mathbb{E} |X_n Y_n - XY | \leq \left( \mathbb{E} |X_n - X|^p \right)^{1/p} \left( \mathbb{E} |Y_n - Y|^q \right)^{1/q} \to 0,}\)
co kończy dowód.

[Wiesiek7]

Dlaczego w ten sposób można skorzystać z nierówności Holdera? Co tutaj jest zmienną z nierówności Holdera?

[Premislav]

Moim zdaniem tak nie można, ale być może jest to po prostu jakaś forma nierówności Höldera, której nie znam. Z klasycznego Höldera dostajemy taką nierówność:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|(X_n-X)(Y_n-Y)|\le \left(\mathbf{E}|X_n-X|^p \right)^{\frac 1 p} \left(\mathbf{E}|Y_n-Y|^q \right)^{\frac 1 q}}\), która nam chyba zbyt wiele nie daje.

Ale za to możemy napisać:
\(\displaystyle{ \matbf{E}|X_n-X||Y| \le \left(\mathbf{E}|X_n-X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \matbf{E}|X||Y-Y_n| \le \left(\mathbf{E}|X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y-Y_n|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
a także:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_nY-XY_n| \le \matbf{E}|X_n-X||Y|+\matbf{E}|X||Y-Y_n|}\)
oraz
\(\displaystyle{ |X_nY_n-XY|=|(X_nY_n-X_n Y)+(X_nY-XY_n)+(XY_n-XY)|}\),
więc z monotoniczności całki (i nierówności trójkąta):
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_nY_n-XY| \le \mathbf{E}\left|X_nY_n-X_n Y \right| +\mathbf{E}\left|X_nY-XY_n \right| +\mathbf{E}\left|XY_n-XY \right|}\)
Z poprzednich szacowań możemy wywnioskować, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left|X_nY-XY_n \right| \le \left(\mathbf{E}|X_n-X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y|^q\right)^{\frac 1 q}+\left(\mathbf{E}|X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y-Y_n|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
a także, ponownie z Höldera, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left|X_nY_n-X_n Y \right| \le \left(\mathbf{E}|X_n|^p \right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y_n-Y|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
a ponadto
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left|XY_n-XY \right| \le \left( \mathbf{E}|X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y_n-Y|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
czyli zbierając to do kupy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (*) \ \mathbf{E}|X_nY_n-XY| \le \left(\mathbf{E}|X_n-X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y|^q\right)^{\frac 1 q}+\left(\mathbf{E}|X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y-Y_n|^q\right)^{\frac 1 q}+\\+\left(\mathbf{E}|X_n|^p \right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y_n-Y|^q\right)^{\frac 1 q}+\left( \mathbf{E}|X|^p\right)^{\frac 1 p}\left( \mathbf{E}|Y_n-Y|^q\right)^{\frac 1 q}}\)
Teraz przypomnijmy coś o zbieżności w \(\displaystyle{ L^p}\) (za książką Jakubowskiego i Sztencla, bo gdybym pisał z pamięci, to jeszcze bym zgubił jakieś założenie).
W definicji zbieżności w \(\displaystyle{ L^p}\) zakładamy, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n\in \NN^+}}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_n|^p<\infty}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3\ldots}\) oraz że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p<\infty}\). Jeśli te warunki są spełnione, a także zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{E}|X_n-X|^p=0}\), to mówimy, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n \in \NN^+}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ L^p}\).
Co bardzo istotne, odnotujmy, że w świetle tychże założeń dotyczących zbieżności w \(\displaystyle{ L^p}\), skoro \(\displaystyle{ X_n\stackrel{L^p}\longrightarrow X}\),
to nie tylko \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{E}|X_n-X|^p=0, \ \mathbf{E}|X|^p<\infty, \ \mathbf{E}|X_n|^p<\infty}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), ale także, co z tych uwarunkowań wynika, ciąg \(\displaystyle{ \left\{ \mathbf{E}|X_n|^p: n \in \NN^+\right\}}\) jest ograniczony. Myślę, że wymaga to dowodu, oto jego szkic:
niech \(\displaystyle{ p>1}\). Niechaj \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{E}|X_n-X|^p=0, \ \mathbf{E}|X|^p<\infty, \ \mathbf{E}|X_n|^p<\infty}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).
Z nierówności Minkowskiego:
\(\displaystyle{ \left(\mathbf{E}|X_n|^p\right)^{\frac 1 p}=\left(\mathbf{E}|X_n-X+X|^p\right)^{\frac 1 p} \le \left( \mathbf{E}|X_n-X|^p\right)^{\frac 1 p}+\left(\mathbf{E}|X|^p \right)^{\frac 1 p}}\)
Korzystamy z założeń i z faktu, że ciąg zbieżny (takim tu niewątpliwie jest \(\displaystyle{ \left\{ \mathbf{E}|X_n-X|^p: n \in \NN^+\right\}}\)) jest ograniczony i po dowodzie.

A zatem z szacowania \(\displaystyle{ (*)}\) natychmiast otrzymujemy tezę zadania.

Ten pomysł wydawał mi się bardzo prosty, wręcz prymitywny, ale jak widać niestety rozwinięcie go trochę zajmuje, więc wolałbym, żeby wystarczyła Ci wskazówka. Jesteś chyba studentem MIM UW, miejże trochę RiGCz.

[bartek118]

Moim zdaniem tak nie można, ale być może jest to po prostu jakaś forma nierówności Höldera, której nie znam.

Oczywiście, nie można. Miałem na myśli wskazówkę, aby zastosować to w takiej formie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E} |(X_n-X)(Y_n-Y)| \leq \left( \mathbb{E} |X_n - X|^p \right)^{1/p} \left( \mathbb{E} |Y_n - Y|^q \right)^{1/q} \to 0,}\)
a napisałem na szybko głupotę.

[Wiesiek7]

Bardzo dziękuję, za tak szczegółowe wyjaśnienie