Wyznaczyć kowariancję

[aga285]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},...}\) są niezależne i mają rozkłady jednostajne na przedziale \(\displaystyle{ U[0,1]}\), a zmienna losowa \(\displaystyle{ N}\) jest od nich niezależna i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej 2. Niech \(\displaystyle{ S_{N}= \sum_{i=1}^{N+1}}\) oraz \(\displaystyle{ V_{N}= \frac{X_{1}}{S_{N}}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ Cov(V_N,N)}\).

\(\displaystyle{ Cov(V_N,N)=E(V_N N)-EV_NEN}\)

Myślałam, żeby zrobić to poprzez warunkowanie:

\(\displaystyle{ EV_N=E(EV_N|N=n)=E(EV_n)=E(E( \frac{X_1}{S_n}))=E(E( \frac{X_1}{X_1+...+X_{n+1}}))}\)

Ale zatrzymałam się w tym miejscu i nie wiem jak dalej... Proszę, pomóżcie

[Premislav]

Trick: zauważ (i uzasadnij), że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \frac{X_i}{X_1+X_2+\ldots+X_{n+1}} \right) =\frac{1}{n+1}, \ i=1\ldots n+1}\)
(broń Boże nie licz w tym celu explicite całek).

[aga285]

miałam nadzieję, że jest na to jakiś sposób

ok, teraz jeśli wrócę od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ N}\) mam \(\displaystyle{ \mathbb{E}( \frac{1}{N+1})}\). Muszę wyznaczyć rozkład tego ułamka?

[Premislav]

No nie do końca tak, równość \(\displaystyle{ EV_N=E(EV_N|N=n)}\) też nie jest zbyt sensowna.
Ja to widzę tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(NV_N)= \sum_{n=0}^{+\infty}\mathbf{E}(NV_N|N=n)\cdot \mathbf{P}(N=n)=\\=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n+1}\cdot e^{-2} \frac{2^n}{n!}}\)
i tak dalej. Nie chce mi się tego przeliczać (choć trudne to nie jest), ale coś takiego już kiedyś chyba liczyłem.

[aga285]

Prawda, tak wygląda lepiej, zapomniałam na chwilę, że to rozkład Poissona

To w takim razie wariancję \(\displaystyle{ \mathbb{E}V_N}\) wyliczymy tak: \(\displaystyle{ \mathbb{E}V_N=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbf{E}(V_N|N=n)\cdot \mathbf{P}(N=n)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+1}\cdot e^{-2} \frac{2^n}{n!}}\).

Faktycznie, sumy wchodzą proste. Dziękuję bardzo!!!