Niech \(\displaystyle{ X = \{1, ..., n\}}\)
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) i wylosowanie każdego podzbioru równie prawdopodobne. Losujemy jeden zbiór \(\displaystyle{ A}\) .
a) Podaj wartość oczekiwaną sumy elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) .
b) Podaj wartość oczekiwaną sumy elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) , pod warunkiem, że jest to zbiór \(\displaystyle{ k}\) –elementowy.
Co do a)
Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza zmienną o wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) , gdzie \(\displaystyle{ 1}\) oznacza, że \(\displaystyle{ i \in A}\) .
Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza sumę wartości w \(\displaystyle{ A}\) .
Wtedy \(\displaystyle{ EX = \sum_{i=1}^{n} i \cdot P(X_{i}=1) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot \frac{1}{2} = \frac{n^{2} + n}{4}}\) .
Czy a) jest dobrze?
Ma ktoś pomysł na b)?