Centralne twierdzenie graniczne

[marcin_rz]

Witam, potrzebuję pomocy z zadaniem:

W pewnej grupie ludzi co piąty człowiek jest palący:
a.) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych ludzi będzie od 18 do 22 palących. Podaj prawdopodobieństwo stosując CTG.
b.) Co najmniej ilu ludzi z tego grupy trzeba wybrać, aby z prawdopodobieństwem 0,975 wśród wybranych było więcej niż 30 palących?

Zrobiłem to w ten sposób, ale kompletnie nie mam pojęcia czy jest to zrobione dobrze.

a.)
\(\displaystyle{ p=0.2}\) , bo co 5 czyli \(\displaystyle{ \frac{\frac{100}{5}}{100}}\)

\(\displaystyle{ P(18 \le x \le 22)=P(x \le 22)-P(x \le 17)=}\)

\(\displaystyle{ \phi(\frac{22-20}{ \sqrt{16} }) - \phi(\frac{17-20}{ \sqrt{16} }) = \phi (0,5) - (1- \phi (0,75))=}\)

\(\displaystyle{ 0,6915-(1-0,7734)=0,4649}\)

b)
\(\displaystyle{ P(x \ge 30) \ge 0,975}\)

\(\displaystyle{ 1-P(x \le 29) \ge 0,975}\)

\(\displaystyle{ 1- \phi (\frac{29-n*0,2}{ \sqrt{n*0,2*0,8} }) \ge \phi (U _{0,975} )}\)

\(\displaystyle{ \frac{0,2n-29}{0,4* \sqrt{n} } \ge 1,95996}\)

\(\displaystyle{ 0,2n - 0,784 \sqrt{n} - 29 \ge 0}\) podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{n} = t}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 23,8146}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = - 10,24}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = 14,16}\)

\(\displaystyle{ n = t _{2} ^{2} \approx 201}\)

[janusz47]

W b)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X > 30\}) = 0,975.}\)

[marcin_rz]

Teraz jest dobrze?

\(\displaystyle{ P(x > 30) = 0,975}\)

\(\displaystyle{ 1-P(x \le 30) = 0,975}\)

\(\displaystyle{ 1- \phi (\frac{30-n*0,2}{ \sqrt{n*0,2*0,8} }) = \phi (U _{0,975} )}\)

\(\displaystyle{ \frac{0,2n-30}{0,4* \sqrt{n} } = 1,95996}\)

\(\displaystyle{ 0,2n - 0,784 \sqrt{n} - 30 = 0}\) podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{n} = t}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 24,615}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = - 10,44}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = 14,36}\)

\(\displaystyle{ n = t _{2} ^{2} \approx 206}\)

[janusz47]

Dobrze!