Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych

[jakub1998]

Bezpośrednim rachunkiem sprawdź, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Pascala odpowiednio z parametrami \(\displaystyle{ (r1, p)}\) i \(\displaystyle{ (r2, p)}\) ma również rozkład Pascala z parametrami \(\displaystyle{ (r1 + r2, p)}\).

Jak się w ogóle do tego zabrać? Wyjść od tego, że są niezależne i przedstawić jako zmienną \(\displaystyle{ C = A + B}\) ? Bo takie coś zacząłem robić, ale nie mam kompletnie pojęcia jak to skleić "do kupy"

[janusz47]

Metoda I (bezpośrednim rachunkiem)

Zapisujemy funkcje prawdopodobieństwa rozkładów dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X \sim Pascal( r_{1}, p), \ \ Y \sim Pascal (r_{2}, p )}\) i korzystając z ich niezależności określamy prawdopodobieństwo sumy

\(\displaystyle{ Pr(\{X + Y = k\})= ...}\)

Metoda II ( metoda funkcji generujących)

[jakub1998]

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} P(X=i) \cdot P(Y=k-i) = \sum_{i=0}^{k} {k+r1-1 \choose r1} p^{i} (1-p)^{r1}{k+r2-1 \choose r2} p^{k-i} \left( 1-p\right) ^{r2} = p^{k}(1-p)^{r1+r2}{k+r1-1 \choose r1}{k+r2-1 \choose r2}}\)
Natomiast nie mam pojęcia co dalej

Tak samo jak chodzi o Benouliego, utykam w jednym miejscu z symbolami Newtona
\(\displaystyle{ (n1,p) (n2,p) \rightarrow (n1+n2,p)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} {n1 \choose i} p^{i}\left( 1-p\right)^{n1-i} {n2 \choose k-i} p^{k-i}\left( 1-p\right)^{n2-\left( k-i\right) } = p^{k}\left( 1-p\right)^{n1+n2-k} \sum_{}^{} {n1 \choose i}{n2 \choose k-i}}\)

[janusz47]

Należy wykazać, po rozpisaniu sumy, że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k}{ i + r_{1}-1\choose i}\cdot { k -i +r_{2}-1 \choose k-i} = {k+r_{1}+r_{2}-1\choose k}}\)