Urna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej kuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły liczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.
Jest to zadanie z próbnej matury z tego roku i w internecie nigdzie nie ma rozwiązania. Czy mógłbym ktoś rozwiązać to zadanie i napisać wynik, ponieważ chciałbym sobie sprawdzić wynik?
Losowanie z urny
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Losowanie z urny
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=5^8}\)
Na miejsce jedności można wylosować tylko 2 lub 4 . Dlatego uzyskane wyniki mnożę przez \(\displaystyle{ \green 2}\)
1)
Na 7 miejscach wylosowano wyłącznie 5 i 3.
a) wylosowano sześć kul z nr 3 i jedną kulę z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{6!} \cdot \green 2}\)
b) wylosowano pięć kul z nr 3 i dwie kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{5!2!} \cdot \green 2}\)
c) wylosowano cztery kule z nr 3 i trzy kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
d) wylosowano trzy kule z nr 3 i cztery kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
a) wylosowano pięć kul z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{5!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
b) wylosowano cztery kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!2!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3)
3.1)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innym, ale tym samym numerze .
a) wylosowano cztery kule z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
b) wylosowano trzy kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3.2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innych i różnych numerach .
a) wylosowano cztery kule z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
b) wylosowano trzy kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4)
Na 7 miejscach wylosowano 3 kule nr 3, kulę nr 5 i:
4.1)
trzy kule o różnych cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!} \cdot \green 2}\)
4.2)
trzy kule o cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\) ale dwie cyfry się powtarzają
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 2! \black} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4.3)
trzy kule o tej samej cyfrze ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 3! \black} \cdot \red {3 \choose 1} \cdot \green 2}\)
Jestem zbyt leniwy aby zsumować powyższe zdarzenia.
PS
Możliwe, że można to liczyć szybciej i łatwiej.
Na miejsce jedności można wylosować tylko 2 lub 4 . Dlatego uzyskane wyniki mnożę przez \(\displaystyle{ \green 2}\)
1)
Na 7 miejscach wylosowano wyłącznie 5 i 3.
a) wylosowano sześć kul z nr 3 i jedną kulę z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{6!} \cdot \green 2}\)
b) wylosowano pięć kul z nr 3 i dwie kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{5!2!} \cdot \green 2}\)
c) wylosowano cztery kule z nr 3 i trzy kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
d) wylosowano trzy kule z nr 3 i cztery kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
a) wylosowano pięć kul z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{5!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
b) wylosowano cztery kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!2!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3)
3.1)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innym, ale tym samym numerze .
a) wylosowano cztery kule z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
b) wylosowano trzy kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3.2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innych i różnych numerach .
a) wylosowano cztery kule z nr 3 i jedną kulę z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
b) wylosowano trzy kul z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4)
Na 7 miejscach wylosowano 3 kule nr 3, kulę nr 5 i:
4.1)
trzy kule o różnych cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!} \cdot \green 2}\)
4.2)
trzy kule o cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\) ale dwie cyfry się powtarzają
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 2! \black} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4.3)
trzy kule o tej samej cyfrze ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 3! \black} \cdot \red {3 \choose 1} \cdot \green 2}\)
Jestem zbyt leniwy aby zsumować powyższe zdarzenia.
PS
Możliwe, że można to liczyć szybciej i łatwiej.
Ostatnio zmieniony 31 sty 2018, o 20:46 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Szakul1
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Re: Losowanie z urny
W treści jest napisane, że mają być dokładnie 3 trójki więc nie wiem czemu rozpatrywać przypadki w których wylosowano więcej kul z numerem 3.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Losowanie z urny
Sorry, źle zapamiętałem. Aby dostać wynik o dokładnie trzech kulach nr 3 wystarczy skreślić parę linijek:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=5^8}\)
Na miejsce jedności można wylosować tylko 2 lub 4 . Dlatego uzyskane wyniki mnożę przez \(\displaystyle{ \green 2}\)
1)
Na 7 miejscach wylosowano wyłącznie 5 i 3.
d) wylosowano trzy kule z nr 3 i cztery kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3)
3.1)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innym, ale tym samym numerze .
b) wylosowano trzy kule z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3.2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innych i różnych numerach .
b) wylosowano trzy kule z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4)
Na 7 miejscach wylosowano 3 kule nr 3, kulę nr 5 i:
4.1)
trzy kule o różnych cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!} \cdot \green 2}\)
4.2)
trzy kule o cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\) ale dwie cyfry się powtarzają
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 2! \black} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4.3)
trzy kule o tej samej cyfrze ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 3! \black} \cdot \red {3 \choose 1} \cdot \green 2}\)
Nadal jestem zbyt leniwy aby sumować powyższe zdarzenia.
PS
Teraz lepiej?
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=5^8}\)
Na miejsce jedności można wylosować tylko 2 lub 4 . Dlatego uzyskane wyniki mnożę przez \(\displaystyle{ \green 2}\)
1)
Na 7 miejscach wylosowano wyłącznie 5 i 3.
d) wylosowano trzy kule z nr 3 i cztery kule z nr 5
\(\displaystyle{ \frac{7!}{4!3!} \cdot \green 2}\)
2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3)
3.1)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innym, ale tym samym numerze .
b) wylosowano trzy kule z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!\red 2! \black} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
3.2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także dwie kule o innych i różnych numerach .
b) wylosowano trzy kule z nr 3 i dwie kule z nr 5 i dwie kule o innych , różnych numerach
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!2!} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4)
Na 7 miejscach wylosowano 3 kule nr 3, kulę nr 5 i:
4.1)
trzy kule o różnych cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!} \cdot \green 2}\)
4.2)
trzy kule o cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\) ale dwie cyfry się powtarzają
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 2! \black} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot \green 2}\)
4.3)
trzy kule o tej samej cyfrze ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 3! \black} \cdot \red {3 \choose 1} \cdot \green 2}\)
Nadal jestem zbyt leniwy aby sumować powyższe zdarzenia.
PS
Teraz lepiej?
Ostatnio zmieniony 31 sty 2018, o 20:54 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Losowanie z urny
mi wyszło
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot 4 ^{3} \cdot 2=17920}\)
tych liczb o które pytają, ale że jestem beznadziejny z kombinatoryki to raczej na to nie patrz.
Ps. Jak widzę rozwiązanie wyżej to nawet nie chce mi się sprawdzać czy mam dobrze bo za dużo liczenia
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot 4 ^{3} \cdot 2=17920}\)
tych liczb o które pytają, ale że jestem beznadziejny z kombinatoryki to raczej na to nie patrz.
Ps. Jak widzę rozwiązanie wyżej to nawet nie chce mi się sprawdzać czy mam dobrze bo za dużo liczenia
-
Szakul1
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Re: Losowanie z urny
Rafsaf:
Ja liczyłem dokładnie w ten sam sposób, ale też jestem słaby z kombinatoryki więc pewnie jest źle XD.
kerajs:
Mam kilka pytań. Czy w pierwszym przypadku przy trójce też nie powinna być silnia? W następnym przypadku nie wiem skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3}}\) oraz czemu tylko razy trzy, rozumiem że ta jedna dodatkowa liczba może być na trzech różnych miejscach, ale nią mogą być liczby 1,2,4 więc nie powinno być razy jeszcze jedną trójkę?
Ja liczyłem dokładnie w ten sam sposób, ale też jestem słaby z kombinatoryki więc pewnie jest źle XD.
kerajs:
Mam kilka pytań. Czy w pierwszym przypadku przy trójce też nie powinna być silnia? W następnym przypadku nie wiem skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3}}\) oraz czemu tylko razy trzy, rozumiem że ta jedna dodatkowa liczba może być na trzech różnych miejscach, ale nią mogą być liczby 1,2,4 więc nie powinno być razy jeszcze jedną trójkę?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Losowanie z urny
Faktycznie, w niektórych mianownikach brakowało silni. Poprawiłem to.
Co do drugiej kwestii to musisz uściślić o który przypadek i o którą trójkę Ci chodzi. Przypadki są numerowane. Masz także możliwość cytowania fragmentów postu.
Co do drugiej kwestii to musisz uściślić o który przypadek i o którą trójkę Ci chodzi. Przypadki są numerowane. Masz także możliwość cytowania fragmentów postu.
-
Szakul1
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Re: Losowanie z urny
2)
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
Nie rozumiem po prostu tego zapisu. Wiem tylko skąd wzięła się dwójka.
Na 7 miejscach wylosowano prócz 5 i 3 także jedną kulę o innym numerze (dlatego wynik mnożę przez \(\displaystyle{ \red 3}\).
c) wylosowano trzy kule z nr 3 i trzy kule z nr 5 i jedną kulę o innym numerze
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!} \cdot \red 3 \cdot \green 2}\)
Nie rozumiem po prostu tego zapisu. Wiem tylko skąd wzięła się dwójka.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Losowanie z urny
Czerwona trójka odpowiada ilości numerów jakie może przyjąć kula która nie jest 3 ani 5 ( może to być 1, 2 lub 4).
Siedem elementów o numerach 3,3,3,5,5,5,x (x to wspomniana powyżej kula) permutuje na 7! sposobów, ale trzy trójki są nierozróżnialne (dzielę przez permutacje między nimi czyli 3!) oraz trzy piątki są nierozróżnialne (dzielę przez permutacje między nimi czyli 3!). Stąd ułamek: \(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!}}\)
Siedem elementów o numerach 3,3,3,5,5,5,x (x to wspomniana powyżej kula) permutuje na 7! sposobów, ale trzy trójki są nierozróżnialne (dzielę przez permutacje między nimi czyli 3!) oraz trzy piątki są nierozróżnialne (dzielę przez permutacje między nimi czyli 3!). Stąd ułamek: \(\displaystyle{ \frac{7!}{3!3!}}\)
-
Szakul1
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Re: Losowanie z urny
Ok, to rozumiem teraz, ale czemu w punkcie 3.2 b) zapis \(\displaystyle{ {3\choose 2}}\)?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Losowanie z urny
Czerwone wyrażenia dotyczą kul które nie są ani trójkami ani piątkami.
W 3.2 ta czerwona kombinacja to ilość wyborów dwóch różnych cyfr ze zbioru {1,2,4}. Takie pary są tylko trzy (1,2),(1,3),(2,3). Ich przestawienia są uwzględnianie (wraz z kulami 3,3,3,5,5) w permutacji 7!
Muszę się jeszcze przyznać że w 4.2 zgubiłem dwójkę. Powinno być:
Sorry.
Powinno być:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot 3^{3} \cdot 2 + {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot 3^{2} \cdot 2 +{7 \choose 3} \cdot {4 \choose 3} \cdot 3^{1} \cdot 2 +{7 \choose 3} \cdot {4 \choose 4} \cdot 2}\)
(składniki sumy to odpowiednio 4, 3, 2 i 1 przypadek z poprawionej wersji)
Pewnie rozwiązywałbym podobnie gdybym sobie nie utrudnił zmieniając treść na co najmniej trzy kule z cytrą 3, co znacząco zwiększyło liczbę przypadków. Sorki.
W 3.2 ta czerwona kombinacja to ilość wyborów dwóch różnych cyfr ze zbioru {1,2,4}. Takie pary są tylko trzy (1,2),(1,3),(2,3). Ich przestawienia są uwzględnianie (wraz z kulami 3,3,3,5,5) w permutacji 7!
Muszę się jeszcze przyznać że w 4.2 zgubiłem dwójkę. Powinno być:
4.2)
trzy kule o cyfrach ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,4\right\}}\) ale dwie cyfry się powtarzają
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\red 2! \black} \cdot \red {3 \choose 2} \cdot 2 \cdot \green 2}\)
Sorry.
To rozwiązanie zlicza te same zdarzenia gdy jest więcej niż jedna kula z cyfrą 5.Rafsaf pisze: \(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot 4 ^{3} \cdot 2=17920}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot 3^{3} \cdot 2 + {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot 3^{2} \cdot 2 +{7 \choose 3} \cdot {4 \choose 3} \cdot 3^{1} \cdot 2 +{7 \choose 3} \cdot {4 \choose 4} \cdot 2}\)
(składniki sumy to odpowiednio 4, 3, 2 i 1 przypadek z poprawionej wersji)
Pewnie rozwiązywałbym podobnie gdybym sobie nie utrudnił zmieniając treść na co najmniej trzy kule z cytrą 3, co znacząco zwiększyło liczbę przypadków. Sorki.