Twierdzenie Bayesa - choroba i elektrownia

[KubaK96]

Zadanie 1
Rozważmy zdanie diagnozowania choroby D na podstawie objawów A i B. Dane historyczny wskazują, że przy chorobie D objaw A obserwuje się w \(\displaystyle{ 60\%}\) przypadków, a objaw B w \(\displaystyle{ 20\%}\) przypadków. Przy braku choroby D objaw A jest obserwowany w \(\displaystyle{ 30\%}\) przypadków, a objaw B w \(\displaystyle{ 80\%}\) przypadków. Na D choruje \(\displaystyle{ 10\%}\) populacji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że chorujesz na D jeżeli masz objaw A, ale nie masz objawu B?

Zadanie 2
Elektrownia atomowa ma system bezpieczeństwa, który mierzy radioaktywność odprowadzonej wody. Jeżeli poziom radioaktywności przekroczy pewną wartość progową, czujnik wydaje sygnał ostrzegawczy.
Niezawodność czujnika wynosi \(\displaystyle{ 95\%}\) (tzn. przy przekroczonym poziomie radioaktywności czujnik wyda sygnał w \(\displaystyle{ 95\%}\) przypadków, przy nieprzekroczonym poziomie czujnik nie wyda sygnału w \(\displaystyle{ 95\%}\) przypadków). Szanse wycieku radioaktywnego są \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ 1000}\). Jeżeli czujnik wydał sygnał, jakie jest prawdopodobieństwo, że nastąpił wyciek?

[kerajs]

Oba zadania dotyczą prawdopodobieństwa warunkowego
1)
X-chory
Y-jest objaw A i brak objawu B
\(\displaystyle{ P(X|_Y)= \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}= \frac{ \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{8}{10} }{\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{8}{10} +\frac{9}{10} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{10} } =...}\)

2)
W-wyciek
S-jest sygnał
\(\displaystyle{ P(W|_S)= \frac{P(W \cap S)}{P(S)}= \frac{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{95}{100} }{\frac{1}{1000} \cdot \frac{95}{100} +\frac{999}{1000} \cdot \frac{5}{100} } =...}\)