definicja warunkowej wartości oczekiwanej

[gienia]

Warunkowa wartość oczekiwana \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ \sigma}\) -ciała \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) to zmienna losowa \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{G})}\) taka, że:

1) \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{G})}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) -mierzalna
2) dla dowolnego \(\displaystyle{ B \in \mathcal{G} \int_{B}^{} E(X|\mathcal{G})dP=\int_{B}^{} XdP}\)

Mógłby mi ktoś wyjaśnić, o co tu chodzi? Czytałam definicję mierzalności, ale nie do końca chyba ją rozumiem - mógłby ktoś mi bardziej intuicyjnie wytłumaczyć, dlaczego te dwa warunki definiują warunkową wartość oczekiwaną (zwłaszcza pierwszy)?

[bartek118]

Pierwszy warunek możesz traktować dość formalnie (tak samo, jak założenie mierzalności w definicji zmiennej losowej); bez niego nie można zapisać drugiego -- całka po lewej stronie musi mieć sens, a do tego potrzeba mierzalności funkcji.

[leg14]

Można też tak:
Mamy przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ (\Omega, F,\PP)}\)
I przestrzeń Hilberta \(\displaystyle{ L^2(\Omega,F)}\) rzeczywistych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem. ( z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ <X,Y> = \int_{}^{} XYd\PP}\)
\(\displaystyle{ L^2(\Omega,\mathcal{G} )}\) jest domkniętą podprzestrzenią, więc możemy sobie \(\displaystyle{ X}\) ortogonalnie na tę podprzestrzeń zrzutować, otrzymując \(\displaystyle{ \pi(X)}\)
\(\displaystyle{ \pi(X)}\) jest wartością oczekiwana \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{G})}\). Warunek pierwszy wynika wprost z definicji, a drugi z tego, że \(\displaystyle{ X = \pi(X) +Z}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ L^2(\Omega,\mathcal{G} )}\).
Niech \(\displaystyle{ A \in \mathcal{G}}\) wówczas \(\displaystyle{ 1_{A} \in L^2(\Omega,\mathcal{G} )}\) i
\(\displaystyle{ <X,1_{A}> = <\pi(X),1_{A}> + <Z,1_{A}> = <\pi(X),1_{A}>+0 = \int_{}^{} X1_A d\PP = \EE X 1_{A}}\)