Zad 1
Niech \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha =inf \left\{ n:X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+...+X_{n}^{3} \ge 100\right\}}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ \alpha < \infty}\)
Zad 2
Niech \(\displaystyle{ \alpha =inf \left\{ n:|S_{n}|=5\right\}}\), a \(\displaystyle{ S_{n}}\) - błądzenie losowe symetryczne startujące z 1. Oblicz \(\displaystyle{ E \frac{1}{2}^{ \alpha }}\). Czy to zadanie można zrobić wyłącznie ze znajomością martyngałów, a bez znajomości łańcuchów Markowa?