Pokazać, że prawdopodobieństwo jest zerowe lub równe jeden.

[pawlo392]

Weźmy sobie ciąg zdarzeń niezależnych \(\displaystyle{ A_i}\). Pokazać, że : \(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n \right)}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).

[Premislav]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n \right)=1-\mathbf{P}\left(\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n\right)' \right)=\\=1-\mathbf{P}\left( \bigcap_{N=1}^{ \infty } \bigcup_{n=N}^{\infty}A_n' \right)}\)
i skoro \(\displaystyle{ A_i}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ A_i'}\) także, a dalej pokombinuj z lematami Borela-Cantellego dla zdarzeń \(\displaystyle{ A_i'}\), rozważając dwa przypadki (zbieżny i rozbieżny szereg prawdopodobieństw).
Pozdrawiam.

[pawlo392]

A nie spotkałem się wcześniej z tymi lematami.. A to bardzo pomaga. Dziękuję.