Pokazać, że prawdopodobieństwo jest zerowe lub równe jeden.
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Pokazać, że prawdopodobieństwo jest zerowe lub równe jeden.
Weźmy sobie ciąg zdarzeń niezależnych \(\displaystyle{ A_i}\). Pokazać, że : \(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n \right)}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Pokazać, że prawdopodobieństwo jest zerowe lub równe jed
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n \right)=1-\mathbf{P}\left(\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n\right)' \right)=\\=1-\mathbf{P}\left( \bigcap_{N=1}^{ \infty } \bigcup_{n=N}^{\infty}A_n' \right)}\)
i skoro \(\displaystyle{ A_i}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ A_i'}\) także, a dalej pokombinuj z lematami Borela-Cantellego dla zdarzeń \(\displaystyle{ A_i'}\), rozważając dwa przypadki (zbieżny i rozbieżny szereg prawdopodobieństw).
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n \right)=1-\mathbf{P}\left(\left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}A_n\right)' \right)=\\=1-\mathbf{P}\left( \bigcap_{N=1}^{ \infty } \bigcup_{n=N}^{\infty}A_n' \right)}\)
i skoro \(\displaystyle{ A_i}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ A_i'}\) także, a dalej pokombinuj z lematami Borela-Cantellego dla zdarzeń \(\displaystyle{ A_i'}\), rozważając dwa przypadki (zbieżny i rozbieżny szereg prawdopodobieństw).
Pozdrawiam.