własność teleskopowania

[gienia]

Dla dowolnych \(\displaystyle{ \mathcal{H} \subseteq \mathcal{G}}\) (\(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała):
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|\mathcal{H})=\mathbb{E}((X|\mathcal{H})|\mathcal{G})=\mathbb{E}((X|\mathcal{G})|\mathcal{H})}\)

Jak to się ma do tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}XY = \mathbb{E}(\mathbb{E}(XY|X))}\)?
Chodzi mi o przejście od zawierania się \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał do zmiennych losowych w przykładzie

[Spektralny]

Rozważ za \(\displaystyle{ \mathcal G}\) algebrę generowaną przez \(\displaystyle{ X}\) natomiast za \(\displaystyle{ \mathcal H}\) weź \(\displaystyle{ \{\varnothing, \Omega\}}\).

[Pakro]

Według mnie to wynika raczej z własności
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\mathbb{E}(X| \mathcal{F}))=E(X)}\)

[gienia]

Rozważ za \(\displaystyle{ \mathcal G}\) algebrę generowaną przez \(\displaystyle{ X}\) natomiast za \(\displaystyle{ \mathcal H}\) weź \(\displaystyle{ \{\varnothing, \Omega\}}\).

Jak nie mam nic o X powiedziane, to znam algebrę generowaną przez X?