N kul, m urn, w drugiej urnie ma być k z n kul.

[Overrun]

Rozmieszczamy losowo n ponumerowanych kul w m rozróżnialnych urnach. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że w 2. urnie znajdzie się dokładnie k kul.

Nie mam kompletnie pojęcia czego tutaj użyć.

[kerajs]

A - w urnie nr. 2 znajdzie się dokładnie k kul

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=n^m \\
\left| A\right|= {n \choose k} \cdot (n-k)^{m-1} \wedge k \le n}\)

[Overrun]

Dzięki, a masz pomysł jaki dział kombinatoryki się tym zajmuje, gdzie szukać odpowiedzi do podobnych zadań? Chodzi o takie właśnie wariacje z określonym warunkiem (tak jak tu k kul w drugiej urnie).

[kerajs]

Nie wiem co mam doradzić, gdyż tu masz podstawy kombinatoryki które poznałeś w szkole średniej. Może wystarczy porozwiązywać trochę zadań?

[Overrun]

A - w urnie nr. 2 znajdzie się dokładnie k kul

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=n^m \\
\left| A\right|= {n \choose k} \cdot (n-k)^{m-1} \wedge k \le n}\)

Wybacz, ale tu nie powinno być \(\displaystyle{ m ^{n}}\) ?
mamy N kul w M urnach, a nie M kul w N urnach.
Nawet po wypisaniu sobie dla np. m=2 i n=3 wychodzi 8, czyli \(\displaystyle{ 2 ^{3}}\) a nie \(\displaystyle{ 3 ^{2}}\)

-- 21 sty 2018, o 19:11 --

Poza tym, załóżmy sobie \(\displaystyle{ n=3 \wedge m=2 \wedge k=1}\)
Wtedy (najpierw na piechotę):
Urna A Urna B
1,2 | 3
1,3 | 2
2,3 | 1
1,2,3 | \(\displaystyle{ \emptyset}\)
\(\displaystyle{ \emptyset}\) | 1,2,3
1 | 2,3
2 | 1,3
3 | 1,2

Czyli \(\displaystyle{ P(A)= \frac{3}{8}}\) (w urnie B ma być dokładnie \(\displaystyle{ k=1}\)) kula.
Wg wzoru.
\(\displaystyle{ |A| = {n \choose k} \cdot (n-k)^{m-1}
= {3 \choose 1} \cdot 2^{1} = 6}\)
\(\displaystyle{ |\Omega|=n^{m}=9}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{9} \neq \frac{3}{8}}\)

[kerajs]

Masz rację. Sorki.

Wersja poprawiona:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=m^n \\
\left| A\right|= \frac{n!}{(n-k)!} \cdot (m-1)^{n-k} \wedge k \le n}\)