Zbadać poszczególne zbieżności.

[pawlo392]

Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ P(U=1)=P(U=-1)= \frac{1}{2}}\) . Sprawdzić, czy jest zbieżny ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_n}\) zdefiniowanych wzorem \(\displaystyle{ X_n=U}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste oraz \(\displaystyle{ X_n=-U}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste.
Ze zbieżnością stochastyczną sobie poradziłem. Mam problem ze zbieżnością według rozkładu i z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) .
Przez zbieżność według rozkładu rozumiem:
\(\displaystyle{ \forall_{a \in \RR}}\) punkt ciągłości \(\displaystyle{ F_x}\) , \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} F_{X_n}(a)=F_X(a)}\)
Natomiast jeśli chodzi o drugą to:
\(\displaystyle{ P\left( \left\{ \omega: \lim_{n \to \infty } X_n(\omega)=X(\omega)\right\}\right)=1}\)

[Wasilewski]

Jeśli chodzi o zbieżność według rozkładu, to wszystkie te zmienne mają ten sam rozkład.

Jeśli chodzi o zbieżność z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), to jej nie ma, co wynika z tego, że nie ma również zbieżności według prawdopodobieństwa (stochastycznej).