Znaleźć granicę ciągu zmiennych losowych

[gienia]

\(\displaystyle{ X_n}\) są niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ X_n~N(\frac{1}{\sqrt {n}},n^{\alpha}), n=1,2,...}\).
Niech \(\displaystyle{ Z_n=\frac { \sum_{k=1}^{n} X_k} {\sqrt{n}}}\).

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ \alpha <0}\) ciąg \(\displaystyle{ (Z_n)_n}\) jest zbieżny z pstwem 1 i znaleźć granicę.

Że zbieżny, to można z tw. o dwóch szeregach? Ale nie wiem jak znaleźć granicę.

[Premislav]

W książce Jakubowskiego i Sztencla Wstęp do teorii prawdopodobieństwa (paragraf dotyczący praw wielkich liczb, konkretnie w wydaniu II jest to strona nr 157) znajdziemy następujące twierdzenie [Kołmogorowa]:
Niech \(\displaystyle{ (X_n)_n}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(\displaystyle{ \mathrm{D^2}X_n<\infty, \ n=1,2\ldots}\) i niech \(\displaystyle{ (b_n)_n}\) będzie ciągiem rosnącym liczb dodatnich takim, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }b_n=\infty}\) oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\mathrm{D^2}X_n}{b_n^2} <\infty}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{S_n-\mathbf{E}S_n}{b_n}=0}\) prawie na pewno.
Oczywiście \(\displaystyle{ S_n= \sum_{k=1}^{n}X_k}\)

Popatrzmy, jak to się ma do zadania: \(\displaystyle{ b_n=\sqrt{n}}\), z założenia zmienne losowe
\(\displaystyle{ (X_k)}\) są niezależne i o skończonej wariancji, a ponadto
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\mathrm{D^2}X_n}{b_n^2} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1-\alpha}}}\).

Wnioski?-- 17 sty 2018, o 21:20 --Będzie trzeba policzyć taką granicę (Analiza 1 się kłania, można użyć rachunku całkowego lub tw. Stolza):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}}\)

[gienia]

Dlaczego Xn mają skończoną wariancję jak n zbiega do nieskończoności?

[Premislav]

Nie rozumiem pytania. W założeniach twierdzenia ważne jest, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) wariancja \(\displaystyle{ X_n}\) istnieje (jest skończona), a nie interesuje nas w tym przypadku jakaś granica wariancji. Aczkolwiek skoro już o to pytasz, to jeśli mamy \(\displaystyle{ \alpha<0}\), naturalnie zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n^{\alpha}=0}\), czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathrm{D^2}X_n=0}\). Tylko nie jest to nam w zasadzie potrzebne, założenie o \(\displaystyle{ \alpha<0}\) jest ważne przy orzekaniu o tym szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\mathrm{D^2}X_n}{b_n^2} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1-\alpha}}}\).

[gienia]

Oj, no racja