warunek unormowania rozkład Gaussa

[FikiMiki94]

Pokazać , że \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} x\exp \left \{ -\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2} \right \}=1}\)

[Premislav]

Tam nie powinno być tego iksa, inaczej to nieprawda np. dla \(\displaystyle{ m=0, \ \sigma}\) dowolnego dodatniego. Ale pewnie to zwykły błąd w przepisywaniu.

Zacznijmy od takiej całki:'
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x=\sqrt{\pi}}\)
Zobacz tutaj.
Podstawiając w tej całce \(\displaystyle{ x= \frac{t-m}{\sqrt{2}\sigma}}\) otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty } \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} e^{- \frac{(t-m)^2}{2\sigma^2} }\,\dd t=\sqrt{\pi}}\)
i dzieląc tę równość stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}}\) otrzymujesz tezę zadania.