Witam,
Mam problem z rozwiązaniem zadania:
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale <-2,2>
Wyznaczyć i naszkicować gęstość zmiennej losowej Y= |X|
Wcześniej rozwiązywałem zadania gdzie funkcja Y=g(x) była monotoniczna na całym zadanym przedziale, jednak teraz gdy muszę go podzielić na dwie części, nie jestem pewien jak powinienem to poprawnie zrobić.
Wyznaczenie gęstości zmiennej losowej Y=|X|
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wyznaczenie gęstości zmiennej losowej Y=|X|
Pierwszy sposób (dystrybuanta zmiennej losowej)
Znajdujemy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=|X|.}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}(y) = Pr( \{ |X|< y\}) = Pr( \{-y < X < y \}) = F_{X}(y) - F_{X}(-y), \ \ y\in(0, 2);}\)
\(\displaystyle{ F_{Y} = 0, \ \ y \notin (0, 2) .}\)
Znajdujemy funkcję gęstości zmiennej zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jako pierwszą pochodną dystrybuanty:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)=....}\)
Drugi sposób ( wzór na gęstość funkcji zmiennej losowej)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ f_{X}(x) =\begin{cases}\frac{1}{4}, \ \ x \in [-2, 2] \\ 0, \ \ x\notin [-2, 2] \end{cases}\right.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ y = |x|}\) jest określona dla \(\displaystyle{ y>0}\) i ścisle monotoniczna dla \(\displaystyle{ x\in (-2, 0) \cup (0, 2).}\)
Funkcja odwrotna:
\(\displaystyle{ g(y) = x = \begin{cases} y, \ \ y\in(0,2)\\ -y, \ \ y\in (0, 2) \end{cases}\right.}\)
\(\displaystyle{ g'(y) = 1}\) i \(\displaystyle{ g'(y) = -1, \ \ y\in (0, 2).}\)
Na podstawie wzoru:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{X}[g(y)]|\cdot | g'(y)|\cdot\textbf I_{R(y),}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = [f_{X}(-y) + f_{X}(y)] \cdot \textbf I_{(0, 2)}=...}\)
Proszę narysować wykresy funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{X}, f_{Y}.}\)
Znajdujemy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=|X|.}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}(y) = Pr( \{ |X|< y\}) = Pr( \{-y < X < y \}) = F_{X}(y) - F_{X}(-y), \ \ y\in(0, 2);}\)
\(\displaystyle{ F_{Y} = 0, \ \ y \notin (0, 2) .}\)
Znajdujemy funkcję gęstości zmiennej zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jako pierwszą pochodną dystrybuanty:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)=....}\)
Drugi sposób ( wzór na gęstość funkcji zmiennej losowej)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ f_{X}(x) =\begin{cases}\frac{1}{4}, \ \ x \in [-2, 2] \\ 0, \ \ x\notin [-2, 2] \end{cases}\right.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ y = |x|}\) jest określona dla \(\displaystyle{ y>0}\) i ścisle monotoniczna dla \(\displaystyle{ x\in (-2, 0) \cup (0, 2).}\)
Funkcja odwrotna:
\(\displaystyle{ g(y) = x = \begin{cases} y, \ \ y\in(0,2)\\ -y, \ \ y\in (0, 2) \end{cases}\right.}\)
\(\displaystyle{ g'(y) = 1}\) i \(\displaystyle{ g'(y) = -1, \ \ y\in (0, 2).}\)
Na podstawie wzoru:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{X}[g(y)]|\cdot | g'(y)|\cdot\textbf I_{R(y),}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = [f_{X}(-y) + f_{X}(y)] \cdot \textbf I_{(0, 2)}=...}\)
Proszę narysować wykresy funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{X}, f_{Y}.}\)