Zbieżność według p-tego momentu

[gienia]

\(\displaystyle{ X_n(\omega)=e^n \mathbbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(\omega)}\)

Mam policzyć \(\displaystyle{ E|X_n|^p}\)

\(\displaystyle{ E|X_n|^p= \int_{0}^{\frac{1}{n}} e^nx^pdx}\)

Zgadza się, czy coś nie tak tu zrobiłam? Bo odpowiedź mam, że \(\displaystyle{ E|X_n|^p=\frac{e^{np}}{n}}\) i nie wiem skąd wyszło coś takiego.

I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno? Nieważne co to za zmienna, wystarczy, żeby nośnik zbiegał do zera?

[janusz47]

Z definicji \(\displaystyle{ p}\) - tego momentu zwykłego:

\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x) = \int (e^{n})^p \textbf 1_{[0,\frac{1}{n}]}dP_{X_{n}}(x) = e^{n\cdot p}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx =x\cdot e^{n\cdot p}|_{0}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}e^{n\cdot p}.}\)

[leg14]

I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno?

Dlaczego do 1 ? Chyba raczej do zera...

Poza tym zbieznosc prawie na pewno to nie to samo, co zbieznosc wedlug momentu. Co zreszta widac na podanym przez Ciebie przykładzie.

[gienia]

Z definicji \(\displaystyle{ p}\) - tego momentu zwykłego:

\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x) = \int (e^{n})^p \textbf 1_{[0,\frac{1}{n}]}dP_{X_{n}}(x) = e^{n\cdot p}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx =x\cdot e^{n\cdot p}|_{0}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}e^{n\cdot p}.}\)

Się pogubiłam. Chciałam liczyć tak: \(\displaystyle{ EX^p = \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\).
Jakie tu jest \(\displaystyle{ f(x)}\)?

I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno?

Dlaczego do 1 ? Chyba raczej do zera...

Poza tym zbieznosc prawie na pewno to nie to samo, co zbieznosc wedlug momentu. Co zreszta widac na podanym przez Ciebie przykładzie.

Tak, miało być do zera. Druga część zadania była o zbieżności prawie na pewno - wystarczy, że nośnik zbiega do zera, żeby ciąg zmiennych zbiegał do zera p.n.?

[leg14]

Tak, miało być do zera. Druga część zadania była o zbieżności prawie na pewno - wystarczy, że nośnik zbiega do zera, żeby ciąg zmiennych zbiegał do zera p.n.?

tak. (Z definicji). No i raczej trzeba to sformułować: ,,jeśli miara nośnika zbiega do zera".

Jakie tu jest f(x)?

No właśnie nie ma. Dlatego musisz liczyć tak jak janusz47 - z definicji/.

[gienia]

A można mając takie coś: \(\displaystyle{ X_n(\omega)=e^n \mathbbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(\omega)}\) znaleźć gęstość tej zmiennej?

[leg14]

Ona nie ma gęstości - przecież przyjmuje tylko dwie wartości.

[gienia]

A, no dobra.
A gdyby była taka z gęstością, to można ją zapisać i w takiej postaci jak tu \(\displaystyle{ X(\omega)}\) i jej funkcję gęstości? I jak się ma jedno do drugiego?

[leg14]

A gdyby była taka z gęstością, to można ją zapisać i w takiej postaci jak tu X(omega) i jej funkcję gęstości?

Nie jestem pewien, czy rozumiem oco Ci chodzi.

I jak się ma jedno do drugiego?

Co do czego?

[gienia]

\(\displaystyle{ EX^p = \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\)

Ten wzór zadziała tylko dla zmiennych z gęstością, a ten:
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)
dla wszystkich, tak?

Jak skorzystać z tego drugiego jak mam podaną gęstość jakiejś zmiennej - jak przejść z \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\) do \(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)?