Zbieżność według p-tego momentu
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
Zbieżność według p-tego momentu
\(\displaystyle{ X_n(\omega)=e^n \mathbbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(\omega)}\)
Mam policzyć \(\displaystyle{ E|X_n|^p}\)
\(\displaystyle{ E|X_n|^p= \int_{0}^{\frac{1}{n}} e^nx^pdx}\)
Zgadza się, czy coś nie tak tu zrobiłam? Bo odpowiedź mam, że \(\displaystyle{ E|X_n|^p=\frac{e^{np}}{n}}\) i nie wiem skąd wyszło coś takiego.
I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno? Nieważne co to za zmienna, wystarczy, żeby nośnik zbiegał do zera?
Mam policzyć \(\displaystyle{ E|X_n|^p}\)
\(\displaystyle{ E|X_n|^p= \int_{0}^{\frac{1}{n}} e^nx^pdx}\)
Zgadza się, czy coś nie tak tu zrobiłam? Bo odpowiedź mam, że \(\displaystyle{ E|X_n|^p=\frac{e^{np}}{n}}\) i nie wiem skąd wyszło coś takiego.
I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno? Nieważne co to za zmienna, wystarczy, żeby nośnik zbiegał do zera?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zbieżność według p-tego momentu
Z definicji \(\displaystyle{ p}\) - tego momentu zwykłego:
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x) = \int (e^{n})^p \textbf 1_{[0,\frac{1}{n}]}dP_{X_{n}}(x) = e^{n\cdot p}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx =x\cdot e^{n\cdot p}|_{0}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}e^{n\cdot p}.}\)
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x) = \int (e^{n})^p \textbf 1_{[0,\frac{1}{n}]}dP_{X_{n}}(x) = e^{n\cdot p}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx =x\cdot e^{n\cdot p}|_{0}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}e^{n\cdot p}.}\)
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Zbieżność według p-tego momentu
Dlaczego do 1 ? Chyba raczej do zera...I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno?
Poza tym zbieznosc prawie na pewno to nie to samo, co zbieznosc wedlug momentu. Co zreszta widac na podanym przez Ciebie przykładzie.
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
Re: Zbieżność według p-tego momentu
Się pogubiłam. Chciałam liczyć tak: \(\displaystyle{ EX^p = \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\).janusz47 pisze:Z definicji \(\displaystyle{ p}\) - tego momentu zwykłego:
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x) = \int (e^{n})^p \textbf 1_{[0,\frac{1}{n}]}dP_{X_{n}}(x) = e^{n\cdot p}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx =x\cdot e^{n\cdot p}|_{0}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}e^{n\cdot p}.}\)
Jakie tu jest \(\displaystyle{ f(x)}\)?
Tak, miało być do zera. Druga część zadania była o zbieżności prawie na pewno - wystarczy, że nośnik zbiega do zera, żeby ciąg zmiennych zbiegał do zera p.n.?leg14 pisze:Dlaczego do 1 ? Chyba raczej do zera...I jeszcze jedno - czy z tego, że nośnik zbiega do zera wynika, że ta zmienna jest zbieżna do 1 prawie na pewno?
Poza tym zbieznosc prawie na pewno to nie to samo, co zbieznosc wedlug momentu. Co zreszta widac na podanym przez Ciebie przykładzie.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: Zbieżność według p-tego momentu
tak. (Z definicji). No i raczej trzeba to sformułować: ,,jeśli miara nośnika zbiega do zera".Tak, miało być do zera. Druga część zadania była o zbieżności prawie na pewno - wystarczy, że nośnik zbiega do zera, żeby ciąg zmiennych zbiegał do zera p.n.?
No właśnie nie ma. Dlatego musisz liczyć tak jak janusz47 - z definicji/.Jakie tu jest f(x)?
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
Zbieżność według p-tego momentu
A można mając takie coś: \(\displaystyle{ X_n(\omega)=e^n \mathbbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(\omega)}\) znaleźć gęstość tej zmiennej?
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
Zbieżność według p-tego momentu
A, no dobra.
A gdyby była taka z gęstością, to można ją zapisać i w takiej postaci jak tu \(\displaystyle{ X(\omega)}\) i jej funkcję gęstości? I jak się ma jedno do drugiego?
A gdyby była taka z gęstością, to można ją zapisać i w takiej postaci jak tu \(\displaystyle{ X(\omega)}\) i jej funkcję gęstości? I jak się ma jedno do drugiego?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: Zbieżność według p-tego momentu
Nie jestem pewien, czy rozumiem oco Ci chodzi.A gdyby była taka z gęstością, to można ją zapisać i w takiej postaci jak tu X(omega) i jej funkcję gęstości?
Co do czego?I jak się ma jedno do drugiego?
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
Zbieżność według p-tego momentu
\(\displaystyle{ EX^p = \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\)
Ten wzór zadziała tylko dla zmiennych z gęstością, a ten:
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)
dla wszystkich, tak?
Jak skorzystać z tego drugiego jak mam podaną gęstość jakiejś zmiennej - jak przejść z \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\) do \(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)?
Ten wzór zadziała tylko dla zmiennych z gęstością, a ten:
\(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)
dla wszystkich, tak?
Jak skorzystać z tego drugiego jak mam podaną gęstość jakiejś zmiennej - jak przejść z \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } x^pf(x)dx}\) do \(\displaystyle{ E|X_{n}|^p = \int [x]^{p} dP_{X_{n}}(x)}\)?