Sigma ciało

[ooolllaaa8883]

Dlaczego rodzina wszystkich podzbiorow zbioru liczb naturalnych skończonych, lub których dopełnienie jest skończone, nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\) - ciałem?

[leg14]

Czy zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN}^{} \left\{ n\right\}}\) należy do tej rodziny?

[Premislav]

leg14, tak, ponieważ jego dopełnienie jest skończone.

Nazwijmy tę rodzinę \(\displaystyle{ M}\). Popatrz sobie na takie zbiorki:
\(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}, \ \left\{ 2\right\}, \ \left\{ 4\right\} , \left\{ 8\right\} }\) i tak dalej. Każdy z nich jest singletonem liczby naturalnej parzystej, więc ma jeden element, czyli jest skończony, zatem należy do \(\displaystyle{ M}\). Ale suma tych zbiorów (oczywiście jest ona przeliczalna):
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{+\infty} \left\{ 2n\right\} =\left\{ 2n:n \in \NN\right\}}\)
jest zbiorem nieskończonym i jego dopełnienie w \(\displaystyle{ \NN}\), zbiór liczb naturalnych nieparzystych, też jest zbiorem nieskończonym.

[ooolllaaa8883]

Wydaje mi się że tak, bo jego dopełnienie (zbiór pusty?) należy do rodziny.

[arek1357]

\(\displaystyle{ A_{1}=\left\{ 1\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{2}=\left\{ 3\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{3}=\left\{ 5\right\}}\) - należą do sigma ciała

..............................................................................................


\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{i}=}\) - zbiór liczb nieparzystych naturalnych należy do sigma ciała bo suma należy, ale dopełnienie jego jest nieskończone więc nie należy , czyli sprzeczność...

Muszę was dopisać do czarnej listy niestety: Leg14, Premislav...

[leg14]

Premislav, a sorry myślałem, że chodziło o podzbiory zbioru liczb całkowitych