Prawdopodobieństwo przepływu prądu

[lwkl]

Witam mam pytanie odnośnie zadania.

Prawdopodobieństwo ,że każdy element Z obwodu będzie przewodził prąd w czasie t wynosi p.
Zakładamy, że elementy psują się niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t.



Więc \(\displaystyle{ P\left( Z\right) = p}\) - prawdopodobieństwo przepływu prądu.

Czyli dwa dwóch elementów szeregowo połączonych: \(\displaystyle{ 1-p \cdot p}\)
Dla dwóch równoległych: \(\displaystyle{ p \cdot p}\)

I sumujemy, więc: \(\displaystyle{ 1- p^{2}+p^{2} = 1-2p^{2}}\) ?

Dobrze myśle?

[Richard del Ferro]

Może wskazówka które pomoże Ci rozwiązywać zadania.

Zauwaz, że prawdopodobieństwo może osiągać wartośc z przedziału \(\displaystyle{ <0;1>}\)

Jeżeli wynik to \(\displaystyle{ 1-2p^2}\) a \(\displaystyle{ p \in <0;1>}\) to mielibyśmy sytuację, że \(\displaystyle{ 1-2 \cdot 1^2=-1}\) prawdopodobieństwo wyszłoby nam ujemne

Czy jeżeli jeden z elementów ustawionych szeregowo się zepsuje to popłynie prąd?
A czy jeżeli jeden z elementów ustawionych równolegle się zepsuje to popłynie prąd? No właśnie.

-- 13 sty 2018, o 20:07 --

Aby popłynął prąd musi działać każdy element ustawiony szeregowo, oraz co najmniej jeden ustawiony równolegle.

jeżeli mamy dwa niezależne elementy, każdy o prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ p}\) a ma działać jeden albo oba to mamy ze wzoru \(\displaystyle{ P=1-P'}\)

\(\displaystyle{ 1-(1-p) \cdot (1-p)=1-(1-p)^2=1-(1-2p+p^2)=2p-p^2}\)

Stąd prawdopodobieństwo, by płynął prąd mamy

\(\displaystyle{ p \cdot p \cdot (2p-p^2)=p^{3} \cdot (2-p)}\)

Zróbmy teraz to sprawdzenie o którym mówiłem na początku.
Pochodna tego to \(\displaystyle{ (2p^3-p^4)'=6p^2-4p^3=2p^2(3-2p)}\)

Jak widzisz \(\displaystyle{ f(p)}\) w przedziale \(\displaystyle{ p \in <0;1>}\) jest rosnąca, a więc na tym przedziale wystarczy sprawdzić \(\displaystyle{ f(0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)}\)
\(\displaystyle{ f(0)=0}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1 \cdot 1}\)

Więc \(\displaystyle{ f(Df)=<0;1>}\) tak jak powinno wyjśc

[lwkl]

Hm.. Więc 1-p to prawdopodobieństwo, że element się zepsuje. Więc mnożymy te prawdopodobieństwa i odejmujemy: \(\displaystyle{ 1-(1-p)^{2}}\) i otrzymujemy prawdopodobieństwo przepływu prądu przez te dwa elementy. I to jest dla elementów szeregowo połączonych (bo jeden z nich jak nawali to prąd nie popłynie...)

A dla równoległych p*p bo jak jeden się zepsuje to przez drugi nadal może płynąć prąd. ( i nie musimy wtedy stosować 1-p ? )

A jakby ten pierwszy od lewej element został przesunięty za dwa elementy połączone równolegle.


To prawdopodobieństwo wciąż było by takie samo, tak? Chociaż wydaje mi się, że to skomplikuje sprawę..

[Richard del Ferro]

Nie nie.
Ja powiedziałem, że ma być włączony co najmniej jeden z tych równoległych, a więc przypadki takie

\(\displaystyle{ p ON}\)
\(\displaystyle{ q OFF}\)

\(\displaystyle{ p ON}\)
\(\displaystyle{ q ON}\)

\(\displaystyle{ p OFF}\)
\(\displaystyle{ q ON}\)

Ale łatwiej policzyć to przez przeciwieństwo bo przeciwieństwem tego (zobacz, że brakuje tylko tego jednego przypadku) bedzie

\(\displaystyle{ p OFF}\)
\(\displaystyle{ q OFF}\)

Prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ (1-p)^2}\) a ze wzoru na zdarzenie przeciwne mamy

\(\displaystyle{ 1-(1-p)^2}\)

I ja mówie teraz tylko i wyłącznie o tych dwóch równoległych!

Ostatecznie domnażam przez \(\displaystyle{ p^2}\) bo to prawdopodobieństwo tego, że te dwa szeregowe będą jednocześnie działać.

-- 13 sty 2018, o 20:42 --

Reguła jest taka, że prąd musi mieć gdzie uciec.
Szeregowe muszą hulać oba, a równoległe wystarczy, żeby działał przynajmniej jeden.

Byłoby takie same, bo mnożenie jest przemienne i łączne.

Jak załapiesz, że elektron to jakby taksówka, która ma ciągle wciśnięty pedał gazu, żeby jechała musi mieć drogę i tyle

[lwkl]

Osz cholera, dokładnie tak... Dla RÓWNOLEGŁYCH jest \(\displaystyle{ 1 - (1 - p)^{2}}\)

Czyli 1-p to prawdop. że element nie działa. I \(\displaystyle{ (1-p) \cdot (1-p)}\) to prawdop. że co najmniej jeden z tych elementów nie działa. A \(\displaystyle{ 1-(1 - p)^{2}}\) to prawdop. że co najmniej jeden z tych elementów dziala.

EDIT.

Wiem, wiem prądy ogarniam.