Zmienne losowe X i Y są niezależne. Oblicz Var(X/(X+Y))

[wojtekb]

Cześć.

Mam problem z zadaniem z egzaminu na aktuariusza (z dnia 2016.05.23):

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają rozkłady o gęstościach \(\displaystyle{ f_{X}}\) i \(\displaystyle{ f_{Y}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ f_{X}}\)\(\displaystyle{ \left( x\right)}\) = \(\displaystyle{ \begin{cases} 4x^2e^{-2x} &\text{gdy } x > 0\\0 &\text{w przeciwnym przypadku } \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f_{Y}}\)\(\displaystyle{ \left( x\right)}\) = \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{8}{3} x^3e^{-2x} &\text{gdy } x > 0\\0 &\text{w przeciwnym przypadku } \end{cases}}\)

Niech \(\displaystyle{ V=\frac{X}{X+Y}}\) . Ile wynosi wariancja \(\displaystyle{ V}\) ?

W kluczu odpowiedzi jest wynik \(\displaystyle{ \frac{3}{98}}\) .

Ja próbowałem to obliczać podstawiając podane gęstości do wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{X}{X+Y}}\) , co daje \(\displaystyle{ V=\frac{3}{3+2x}}\) .
Ponieważ wzór na wariancje jest następujący \(\displaystyle{ D^{2}\left( X\right)=E\left( X^{2}\right)-\left( E\left( X\right) \right) ^{2}}\) w związku z tym chciałem najpier wyliczyć \(\displaystyle{ E\left( X\right) =\int_{- \infty }^{ \infty }xf\left( x\right)dx=E\left( V\right)=\int_{0 }^{ \infty }x \cdot \frac{3}{3+2x}\:dx}\)
Niestety taka całka nie daje się policzyć. Prośba o wskazówkę, co robię nie tak.

[leg14]

Dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ \EE(X) = \EE(V)}\) ?

Ja próbowałem to obliczać podstawiając podane gęstości do wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{X}{X+Y}}\) , co daje \(\displaystyle{ V=\frac{3}{3+2x}}\) .

To, to już w ogóle nie ma sensu.
To co musisz zrobić, to wyliczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{X}{X+Y}}\) korzystając z rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) (po to jest Ci potrzebne założenie o niezależności).

A konkretnie proponuję najpierw wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ (X,X+Y)}\) .

[wojtekb]

Dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ \EE(X) = \EE(V)}\) ?

Niestety dopiero się tego uczę, stąd takie błędy

Jeśli dobrze zrozumiałem Twoją podpowiedź, to najpierw powinienem obliczyć splot gęstości \(\displaystyle{ Z=X+Y}\), a następnie mając tą gęstość, powinienem obliczyć gęstość rozkładu ilorazu zmiennych losowych \(\displaystyle{ U= \frac{X}{Z}}\). Dopiero tak obliczoną gęstość mogę finalnie wykorzystać przy wyliczeniu wariancji.

Na splot gęstości znalazłem następujący wzór \(\displaystyle{ f_{X+Y}\left( z\right)= \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}\left( z-x\right)f_{Y}\left( x\right)dx}\)

Na gęstość rozkładu ilorazu zmiennych losowych znalazłem następujący wzór \(\displaystyle{ f_{X/Z}\left( u\right)= \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}\left( x\right)f_{Z}\left( \frac{x}{u} \right) \frac{1}{|x|} dx}\)

Niestety już przy wyliczaniu splotu gęstości otrzymuję całkę, której nie da się policzyć:

\(\displaystyle{ f_{X+Y}\left( z\right)= \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}\left( z-x\right)f_{Y}\left( x\right)dx= \frac{32}{3} e^{-2z}\left[ z^{2} \int_{0}^{\infty} x^{3}dx-2z \int_{0}^{\infty} x^{4}dx+ \int_{0}^{\infty} x^{5}dx \right]}\)

[Premislav]

Źle się do tego zabierasz (nie neguję wskazówki, tylko Twoje zastosowanie wzoru na splot).

Ja bym to zadanie robił tak: z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) dostajemy, że wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ g(x,y)=4x^2 e^{-2x}\cdot \frac{8}{3}y^3 e^{-2y}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)}\).
Następnie zauważ, że wobec tego
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \frac{X}{X+Y}\right) = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x+y} \cdot 4x^2 e^{-2x}\cdot \frac{8}{3}y^3 e^{-2y}\,\dd x\,\dd y}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left(\left( \frac{X}{X+Y}\right)^2\right) = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x+y)^2} \cdot 4x^2 e^{-2x}\cdot \frac{8}{3}y^3 e^{-2y}\,\dd x\,\dd y}\)
Następnie ja bym postulował zamianę zmiennych \(\displaystyle{ u=x, \ v=x+y}\) w tych całkach. Odpowiednie jakobiany wyniosą \(\displaystyle{ 1}\), otrzymamy jakieś takie całki:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(V)= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{v} \frac{u}{v} \cdot 4u^2 e^{-2u}\cdot \frac{8}{3}(v-u)^3 e^{-2(v-u)}\,\dd u\,\dd v}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(V^2)= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{v} \frac{u^2}{v^2} \cdot 4u^2 e^{-2u}\cdot \frac{8}{3}(v-u)^3 e^{-2(v-u)}\,\dd u\,\dd v}\)
Oblicz je – powodzenia. No i potem, rzecz jasna, stosujemy wzór \(\displaystyle{ \mathrm{Var} V=\mathbf{E}(V^2)-(\mathbf{E}(V))^2}\).

[wojtekb]

Wielkie dzięki za wyjaśnienie, teraz wszystko się zgadza