Witam, czy wytłumaczyłby mi ktoś, jak rozwiązać to zadanie:
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=2}\). Wyznaczyć i naszkicować gęstość zm. losowej \(\displaystyle{ Y= \sqrt{X}}\).
Głownie chodzi mi o wykres.
Zmienna losowa X- rozkład wykładniczy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zmienna losowa X- rozkład wykładniczy
Zacznijmy od dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F_Y(t)=\mathbf{P}(Y\le t)=\mathbf{P}(\sqrt{X}\le t)=\\= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0\\ \mathbf{P}\left(X \le t^2\right) \text{ gdy } t>0 \end{cases}}\)
Zaś dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jak w treści zachodzi:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\le t^2)= \int_{0}^{t^2}2e^{-2x}\,\dd x=1-e^{-2t^2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_Y(t)=\left( 1-e^{-2t^2}\right) 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\).
Oczywiście więc gęstość rozkładu \(\displaystyle{ Y}\) jest zerowa dla \(\displaystyle{ t\le 0}\), zaś dla \(\displaystyle{ t>0}\) różniczkujesz po prostu dystrybuantę, by wydobyć postać funkcji gęstości. Ostatecznie gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ f_Y(t)=4te^{-2t^2}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\)
No a wykres to kwestia zbadania przebiegu zmienności funkcji (chyba że masz go w jakimś programie matematycznym narysować, to wtedy nie pomogę, bo nie lubię komputerów). Funkcja
\(\displaystyle{ f_Y(t)=4te^{-2t^2}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\) przyjmuje tylko wartość \(\displaystyle{ 0}\) na całym przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\), a dalej możemy stwierdzić tak: jest ona dodatnia w \(\displaystyle{ \RR^+}\), spełnia \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }f_Y(t)=0}\) (oczywiste), ponadto licząc jej pochodną:
\(\displaystyle{ \left( 4te^{-2t^2}\right)'=4e^{-2t^2}-16t^2e^{-2t^2}=4e^{-2t^2}\left( 1-4t^2\right)}\).
Zatem na półprostej dodatniej pochodna zeruje się tylko dla \(\displaystyle{ t=\frac 1 2}\).
Ponadto jest ona dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac 1 2\right)}\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, +\infty\right)}\), czyli dla \(\displaystyle{ t=\frac 1 2}\) funkcja ma lokalne maksimum (łatwo też widać, że w istocie jest w tym punkcie przyjmowane globalne maksimum funkcji gęstości, wynosi ono \(\displaystyle{ 2e^{-\frac 1 2}}\)).
Teraz oblicz drugą pochodną i punkty przegięcia, i będziesz mógł przejść do wykonania szkicu.
\(\displaystyle{ F_Y(t)=\mathbf{P}(Y\le t)=\mathbf{P}(\sqrt{X}\le t)=\\= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0\\ \mathbf{P}\left(X \le t^2\right) \text{ gdy } t>0 \end{cases}}\)
Zaś dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jak w treści zachodzi:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\le t^2)= \int_{0}^{t^2}2e^{-2x}\,\dd x=1-e^{-2t^2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_Y(t)=\left( 1-e^{-2t^2}\right) 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\).
Oczywiście więc gęstość rozkładu \(\displaystyle{ Y}\) jest zerowa dla \(\displaystyle{ t\le 0}\), zaś dla \(\displaystyle{ t>0}\) różniczkujesz po prostu dystrybuantę, by wydobyć postać funkcji gęstości. Ostatecznie gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ f_Y(t)=4te^{-2t^2}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\)
No a wykres to kwestia zbadania przebiegu zmienności funkcji (chyba że masz go w jakimś programie matematycznym narysować, to wtedy nie pomogę, bo nie lubię komputerów). Funkcja
\(\displaystyle{ f_Y(t)=4te^{-2t^2}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(t)}\) przyjmuje tylko wartość \(\displaystyle{ 0}\) na całym przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\), a dalej możemy stwierdzić tak: jest ona dodatnia w \(\displaystyle{ \RR^+}\), spełnia \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }f_Y(t)=0}\) (oczywiste), ponadto licząc jej pochodną:
\(\displaystyle{ \left( 4te^{-2t^2}\right)'=4e^{-2t^2}-16t^2e^{-2t^2}=4e^{-2t^2}\left( 1-4t^2\right)}\).
Zatem na półprostej dodatniej pochodna zeruje się tylko dla \(\displaystyle{ t=\frac 1 2}\).
Ponadto jest ona dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac 1 2\right)}\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, +\infty\right)}\), czyli dla \(\displaystyle{ t=\frac 1 2}\) funkcja ma lokalne maksimum (łatwo też widać, że w istocie jest w tym punkcie przyjmowane globalne maksimum funkcji gęstości, wynosi ono \(\displaystyle{ 2e^{-\frac 1 2}}\)).
Teraz oblicz drugą pochodną i punkty przegięcia, i będziesz mógł przejść do wykonania szkicu.