Zmienne losowe o rozkładzie normalnym.

[pawlo392]

Niech \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) będą zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie normalnym. Jaki rozkład ma zmienna \(\displaystyle{ X-Y}\). Wydaje mi się, że taki sam. Znaleźć jego parametry w zależności od parametrów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).

[Premislav]

A są niezależne? Nawet jeśli tak, to dokładnie to zależy od parametrów właśnie, ale dla niezależnych będzie to zawsze też rozkład normalny.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, 1)}\) ma funkcję charakterystyczną postaci \(\displaystyle{ \varphi_X(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}}\). Korzystając teraz z faktu, że
\(\displaystyle{ \varphi_{aX+b}(t)=e^{i bt}\varphi_X(at)}\) i z tego, że gdy \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0,1)}\), to \(\displaystyle{ \sigma X+\mu\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\) otrzymujemy, że jeśli
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\), to funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) tak się przedstawia:
\(\displaystyle{ \varphi_X(t)=e^{it\mu- \frac{t^2\sigma^2}{2} }}\)

Jeśli teraz \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1)}\), a także
\(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)}\),
to z uwagi na to, że \(\displaystyle{ X-Y=X+(-Y)}\) i na fakt, że funkcja charakterystyczna sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych, dostajemy
\(\displaystyle{ \varphi_{X-Y}(t)=\exp\left(it\left( \mu_1-\mu_2\right)-\frac{t^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}{2} \right)}\), a to jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( \mu_1-\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}\), no a funkcja charakterystyczna jednoznacznie identyfikuje rozkład.

-- 10 sty 2018, o 00:00 --

Jeśli natomiast nie znasz funkcji charakterystycznych ani funkcji tworzących momenty, to jest to trochę liczenia splotu, nie chce mi się(oczywiście dla niezależnych \(\displaystyle{ X,Y}\), bez założenia niezależności niewiele da się powiedzieć w tym przypadku o rozkładzie).

-- 10 sty 2018, o 00:11 --

Dobra, nie umiem czytać, są niezależne. No to można postąpić jak wyżej. Jeśli tego nie znasz, to w celu znalezienia gęstości rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ X-Y}\) (przyjmując, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkłady normalne jak wyżej), trzeba policzyć taką (bodajże) całkę:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2}\exp\left( -\frac{(x+y-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} \right)\exp\left( -\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} \right) \,\dd y}\)
Aż Ci zazdroszczę. Ale nie powinna ona być bardzo trudna. Trzeba zapisać najgorszą część jako jeden \(\displaystyle{ \exp}\), rozpisać wykładnik i umiejętnie zwinąć w inne kwadraty, tak żeby sprowadzić problem do obliczenia całki z przeskalowanej gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pewnej zmiennej o rozkładzie normalnym. Ja się tego nie podejmę, pamiętam, że to nie jest trudne, ale za to uciążliwe rachunkowo.

Inna sprawa, że jeśli znasz wielowymiarowy rozkład normalny, to wychodzi to od razu z rozważenia wektora losowego \(\displaystyle{ (X, Y)}\) i nałożenia odpowiedniej macierzy, ale chyba znając to, nie zadawałbyś takiego pytania.

[pawlo392]

Super. Dziękuje za pomoc. A co do ostatniego to właśnie znalazłem na math.stackexchange.com jak ktoś rozwiązał podobne zadanie tworząc macierz Jacobiego. Chyba to miałeś na myśli.