Witam. Mam takie zadanie:
Co najmniej ile razy trzeba rzucić kostką, aby szansa wyrzucenia szóstki różniła się od \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) o \(\displaystyle{ 0,01}\) z prawdopodobieństwem około \(\displaystyle{ 0,997}\) ?
Czy można tu w jakiś sposób skorzystać z nierówności Czybyszewa? Jeśli tak, w jaki sposób, gdyż pojawia się tu równość? Jeśli nie, w jaki inny sposób rozwiązać to zadanie?
Proszę o pomoc.
Rzut kostką - nierówność Czybyszewa?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rzut kostką - nierówność Czybyszewa?
Korzystamy z Prawa Wielkich Liczb Bernoulliego:
\(\displaystyle{ Pr\left(\left|\frac{X_{n}}{n}- \frac{1}{6}\right|\leq 0,01\right) \approx 0,997.}\)
\(\displaystyle{ 2\phi\left(0,01\cdot \sqrt{\frac{n}{\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}}\right) -1 \approx 0,997}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\right) \approx 0,9985.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\right) \approx \phi(2,97)}\)
\(\displaystyle{ 0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\approx 2,97}\)
\(\displaystyle{ n \approx 12252.}\)
P.S.
J.L Hodges, Jr. i E.L. Lehmann w swojej książce Basic Concept of Probability and Statistics w przykładzie 1 ustępu 1.2 rozdziału I przytaczają dane dotyczące różnych serii rzutów kostką, z których wynika, że im większa jest liczba rzutów \(\displaystyle{ n}\) tym częstość \(\displaystyle{ \mu_{n}(A)}\) wykazuje tendencję do stabilizacji.
\(\displaystyle{ Pr\left(\left|\frac{X_{n}}{n}- \frac{1}{6}\right|\leq 0,01\right) \approx 0,997.}\)
\(\displaystyle{ 2\phi\left(0,01\cdot \sqrt{\frac{n}{\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}}\right) -1 \approx 0,997}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\right) \approx 0,9985.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\right) \approx \phi(2,97)}\)
\(\displaystyle{ 0,01\cdot \frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\approx 2,97}\)
\(\displaystyle{ n \approx 12252.}\)
P.S.
J.L Hodges, Jr. i E.L. Lehmann w swojej książce Basic Concept of Probability and Statistics w przykładzie 1 ustępu 1.2 rozdziału I przytaczają dane dotyczące różnych serii rzutów kostką, z których wynika, że im większa jest liczba rzutów \(\displaystyle{ n}\) tym częstość \(\displaystyle{ \mu_{n}(A)}\) wykazuje tendencję do stabilizacji.