\(\displaystyle{ {X_n}}\)–ciąg i.i.d. takich, że \(\displaystyle{ P(X_n=-n^4)=P(X_n=n^4)=\frac{1}{n^2},~P(X_n=0)=1-\frac{2}{n^2}}\) .
Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty X_n}\) .
Chcę zrobić to zadanie z tw. o trzech szeregach. Proszę o sprawdzenie części rozwiązania.
Ustalmy pewne \(\displaystyle{ c>0}\) . Definiuję:
\(\displaystyle{ X_n^c= \begin{cases} 0,~|X_n|>c\\ X_n,~|X_n| \le c \end{cases}}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \exists{n_0}\forall{n>n_0} ~X_n^c= \begin{cases} 0,~p=\frac{2}{n^2}\\ 0,~p=1-\frac{2}{n^2} \end{cases}}\) (\(\displaystyle{ p}\) – oznacza prawdopodobieństwo).
Zatem \(\displaystyle{ \exists{n_0}\forall{n>n_0}~ P(X_n^c=0)=1}\)
Zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty EX_n^c}\) jest równoważna zbieżności \(\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^\infty EX_n^c=0}\) .
Pozostałe warunki dla tw. o trzech szeregach zrobiłbym na podobnej zasadzie. Pytanie brzmi czy to dobry pomysł i czy to co zrobiłem powyżej jest dobrze?
