Suma oczek a liczba rzutów

[pocraka2]

Oblicz prawdopodobieństwo, że trzeba wykonać od \(\displaystyle{ 190}\) do \(\displaystyle{ 210}\) rzutów aby suma oczek przekroczyła \(\displaystyle{ 700}\) .
Bardzo proszę o podpowiedź/naprowadzenie na rozwiązanie.

[janusz47]

Prawdopodobnie chodzi o to, aby suma oczek (a nie rzutów) przekroczyła liczbę \(\displaystyle{ 700}\) .

-- 5 sty 2018, o 21:02 --

Sposób 1

Na przykład zmienna losowa:

\(\displaystyle{ X \sim \textbf Binom \left (n= 800, p = \frac{1}{6}\right)}\)

W programie R instrukcja pbinom(k, n, p) .

Sposób 2

Aproksymacja rozkładem normalnym (CTG de Moivre'a-Laplace'a)

W programie R instrukcja pnorm( ) .

[pocraka2]

Dziękuje za odpowiedź. Co do sposobu 2. Niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza zmienna losowa odpowiadającą jednemu rzutowi kostką. \(\displaystyle{ E(X_i) = 3,5;\: \text{Var}(X_i)=\frac{91}{6}-3,5^2}\) .
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n}S_n-E(X_i)}{\frac{Var(X_i)}{\sqrt{n}}}}\) ma standardowy rozkład normalny z CTG. Nie bardzo wiem co dalej.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mu = E(X) = 800\cdot \frac{1}{6} \approx 133,3}\)

\(\displaystyle{ \sigma = SD(X) = \sqrt{800\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}\approx 10,541}\)

\(\displaystyle{ Pr (180 \leq X \leq 210) = Pr \left( \frac{180-133,333}{10,541} \leq Z \leq \frac{210 -133,333}{10,541} \right) \approx \Phi(7,2732) + \Phi(4,4272) - 1 \approx 0,9999952}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> p1 = pnorm((210 -133.333)/10.541)
> p1
[1] 1
p2= pnorm((180-133.333)/10.541)
> p2
[1] 0.9999952
> p = p1 + p2 - 1 
> p
[1] 0.9999952

Proszę dodatkowo zbadać, jak sumy uzyskanych oczek na przykład \(\displaystyle{ n = 701, 750, 850, 900, 1000,}\) wpływają na wartość tego prawdopodobieństwa.

Na przykład dla \(\displaystyle{ n = 701}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> p = pnorm((210-116.83)/9.8672)+pnorm((180-116.83)/9.8672) - 1
> p
[1] 1

[pocraka2]

Przyznam szczerze, że nie rozumiem tego rozwiązania. Mógłbyś proszę wyjaśnić co opisuje zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) i dlaczego ma taki rozkład?

[janusz47]

Doświadczenie losowe polegające na rzucie symetryczną kostką do gry modeluje rozkładem Bernoulliego o parametrach \(\displaystyle{ n}\) – ilość rzutów i \(\displaystyle{ p = \frac{1}{6}}\) – prawdopodobieństwo wypadnięcia \(\displaystyle{ i =1 \vee 2 \vee ... \vee 6}\) oczek w jednym rzucie.

Dla dużych liczb \(\displaystyle{ n}\) rozkład Bernoulliego przybliżamy rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(0,1)}\) .

Mówi o tym Integralne Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

Proszę zapoznać się z tym twierdzeniem.

[SlotaWoj]

@Janusz447

\(\displaystyle{ Pr (180 \leq X \leq 210) = Pr \left( \frac{180-133,333}{10,541} \leq Z \leq \frac{210 -133,333}{10,541} \right) \approx \Phi(7,2732) + \Phi(4,4272) - 1 \approx 0,9999952}\)

Przypominam, że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o ciągłym rozkładzie z dystrybuantą \(\displaystyle{ F}\) :

• \(\displaystyle{ P\left(X_\text{min}\le X\le X_\text{max}\right)=F\left( X_\text{max}\right)-F\left( X_\text{min}\right)}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr (180 \leq X \leq 210) = Pr \left( \frac{180-133,333}{10,541} \leq Z \leq \frac{210 -133,333}{10,541} \right) \approx \Phi(7,2732) - \Phi(4,4272) \approx 4,773321 \cdot 10^{-6}}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(7.2732)-pnorm(4.4272)
[1] 4.77321e-06

Dziękuję za przypomnienie.

[SlotaWoj]

@Janusz47
Poprzednio obliczyłeś prawdopodobieństwo tego, że trzeba wykonać \(\displaystyle{ 180\div210}\) rzutów kością do gry, aby suma oczek przekroczyła \(\displaystyle{ 700}\) .
Pierwsze prawdopodobieństwo wyniosło prawie \(\displaystyle{ 1}\) . Ponieważ popełniłeś błąd, to po korekcie wynosi ono prawie \(\displaystyle{ 0}\) .
Czy Cię te wartości nie niepokoją?
Przecież wartością oczekiwaną sumy oczek przy \(\displaystyle{ 200}\) rzutach kością jest właśnie \(\displaystyle{ 700}\) , a to oznacza, że prawdopodobieństwo przekroczenia tą sumą liczby \(\displaystyle{ 700}\) przy \(\displaystyle{ 200}\) rzutach jest równe \(\displaystyle{ 0,5}\) ?

[janusz47]

Nieprawda!

[Premislav]

Co jest nieprawdą? To stwierdzenie o prawdopodobieństwie przekroczenia liczby \(\displaystyle{ 700}\) przy \(\displaystyle{ 200}\) rzutach? Bo nie wiem w tym momencie, do czego się odnosisz.

Doświadczenie losowe polegające na rzucie symetryczną kostką do gry modeluje rozkładem Bernoulliego o parametrach \(\displaystyle{ n}\) – ilość rzutów i \(\displaystyle{ p = \frac{1}{6}}\) – prawdopodobieństwo wypadnięcia \(\displaystyle{ i =1 \vee 2 \vee ... \vee 6}\) oczek w jednym rzucie.

Czy Ty nie widzisz, że jest to nonsens?
Jakie jest w takim modelu prawdopodobieństwo, że po \(\displaystyle{ n}\) rzutach wypadnie co najmniej \(\displaystyle{ n}\) oczek? Powinno być równe 1, a tymczasem (sfora zbójców pędziła lasem)…
Rozkład liczby oczek uzyskanej po \(\displaystyle{ n}\) rzutach jest rozkładem wielomianowym z odpowiednimi parametrami.

[SlotaWoj]

@Janusz47
Ja nie pytałem Ciebie o to, co jest prawdą, a co nie, tylko o to, czy nie zaniepokoiły Cię obliczone przez Ciebie prawdopodobieństwa, pierwsze błędne ze względów oczywistych, drugie lepsze, ale oba niezgodne z intuicją (przynajmniej moją).
Czyżbyś ty nie miał intuicji?

[a4karo]

Przecież wartością oczekiwaną sumy oczek przy \(\displaystyle{ 200}\) rzutach kością jest właśnie \(\displaystyle{ 700}\) , a to oznacza, że prawdopodobieństwo przekroczenia tą sumą liczby \(\displaystyle{ 700}\) przy \(\displaystyle{ 200}\) rzutach jest równe \(\displaystyle{ 0,5}\) ?

To akurat nie jest prawdą (choć niewiele się od niej różni). Każdej sumie z przedziału \(\displaystyle{ 200-699}\) odpowiada suma z przedziału \(\displaystyle{ 701-1200}\) a dla sumy \(\displaystyle{ 700}\) pary nie ma.

[SlotaWoj]

No tak. Zapomniałem, że rozkład ma nieparzystą liczbę punktów.

[pocraka2]

A co powiecie na takie rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza zmienną losową obrazującą liczbę wyrzuconych oczek w i-tym rzucie. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne oraz:
\(\displaystyle{ EX_i=\sum_{i=1}^6 i\cdot\frac{1}{6}=3.5}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2(X_i)=\sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6}- 3.5^2 = \frac{35}{12}}\)
Zdefiniujmy sobie zmienną losową liczącą sumę wyrzyconych oczek \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i = 1}^{n}X_i}\)
Prawdopodobieństwo, którego szukamy to:
\(\displaystyle{ P(S_{190}<700)-P(S_{210}<700)}\)
Z CTG wiemy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ \frac{\frac{S_n}{n} - E(X_n)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)}\)
gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności. Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ P(S_{190} < 700)-P(S_{210}<700) = P\left(\frac{\frac{S_{190}}{190} - 3.5}{\frac{ \sqrt{\frac{35}{12}}}{\sqrt{190}}} < \frac{\frac{700}{190}-3.5}{\frac{ \sqrt{\frac{35}{12}}}{\sqrt{190}}}\right) - P\left(\frac{\frac{S_{210}}{210} - 3.5}{\frac{ \sqrt{\frac{35}{12}}}{\sqrt{210}}} < \frac{\frac{700}{210}-3.5}{\frac{ \sqrt{\frac{35}{12}}}{\sqrt{210}}}\right) =\Phi(1.486784)-\Phi(-1.414214) = 0.8528144}\)