Nierówność Czebyszewa.

[pawlo392]

Niech prawdopodobieństwo wyprodukowania bubla wynosi \(\displaystyle{ 0,05}\) . Ile elementów powinna wyprodukować fabryka aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,9}\), przynajmniej \(\displaystyle{ 100}\) spośród nich nie było wadliwych.
Zadanie jest w miarę typowe, gdy liczymy korzystając z CTG. Jednak jak szacować to z nierówności Czebyszewa?

[leg14]

Bierzesz \(\displaystyle{ X}\) jako zmienną losową, która przyjmuje wartość 1, jeżeli wyprodukowany element nie jest bublem i 0 w przeciwnym przypadku. Interesuje Cię \(\displaystyle{ \PP(X_1+...+X_n > 100 )}\) gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) są iid i \(\displaystyle{ X_i \cong X}\) .

[pawlo392]

Wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E(X_i)= \frac{95}{100}}\) . Wariancja natomiast to \(\displaystyle{ \frac{475}{10000}}\) .
Czyli \(\displaystyle{ P\left(\left| X- \frac{95}{100} \right| \ge 100\right) \le \frac{475}{1000} \cdot \frac{1}{100}^2}\) . Czy jest to poprawnie?

[leg14]

Nie jest. \(\displaystyle{ P\left(\left| X- \frac{95}{100} \right| \ge 100\right)}\) co ma to do prawdopodobieństwa, którego szukasz?

[pawlo392]

Korzystam z takiej postaci nierówności \(\displaystyle{ P(|X-E(X)|\geq x)\leq \frac{\text{Var}(X)}{x^{2}}}\).

-- 4 sty 2018, o 21:49 --

Nasza startowa nierówność to \(\displaystyle{ P(S \ge 100) \ge 0,9}\) .

[leg14]

No to jak z \(\displaystyle{ P(S \ge 100)}\) zrobiłeś \(\displaystyle{ P\left(\left| X- \frac{95}{100} \right| \ge 100\right)}\) ?

[pawlo392]

Hmm.. Generalnie myślałem( wiem, że źle ), że opiera się to na prostym podstawieniu potrzebnych wartości. Nierówność Czebyszewa podaje ograniczenie górne. Zatem musimy szacować \(\displaystyle{ P(S \ge 100)}\) z góry.

[leg14]

Skorzystaj z wiki... Czebyszewa .

[pawlo392]

Zatem mam takie szacowanie \(\displaystyle{ \frac{95n}{100}\cdot \frac{1}{100} \ge P(S \ge 100) \ge 0,9}\) .

[leg14]

\(\displaystyle{ S}\) zależy od n (zakładam, że przyjmujesz \(\displaystyle{ S = X_1 +...+X_n}\) ), więc to raczej dziwne, że n zniknęło z oszacowania, nie sądzisz?

[pawlo392]

A tak, tak. Racja. Poprawione.

[leg14]

A sorry tu nierówność musi iść w drugą stronę. To proponuję, żeby \(\displaystyle{ X =1}\) oznaczało, że mamy do czynienia z bublem.