Prawdopodobieństwo wylosowania sfery wewnątrz kuli

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Archi1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 4 sty 2018, o 19:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Prawdopodobieństwo wylosowania sfery wewnątrz kuli

Post autor: Archi1997 »

Witam, otóż nie jestem przekonany co do swojego pomysłu na rozwiązanie zadania, ponadto stawiając założenia nie mam bladego pojęcia jak zabrać się za ich policzenie. Czy ktoś mógłby zerknąć na to i ewentualnie udzielić wskazówek w którym kierunku iść?

Zadanie: We wnętrzu kuli \(\displaystyle{ K}\) wybrano losowo punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) . Zaproponuj co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) sposoby losowania i dla każdego z nich oblicz prawdopodobieństwo tego, że sfera o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ \left|AB\right|}\) leży we wnętrzu kuli \(\displaystyle{ K}\) .

Poniżej zaprezentuje swój zamysł na rozwiązanie tego zadania:
Na promieniu \(\displaystyle{ R}\) kuli wybieramy dowolny punkt \(\displaystyle{ A}\) . Następnie wybieramy punkt \(\displaystyle{ B}\) w taki sposób, aby jego odległość od środka okręgu \(\displaystyle{ O}\) była taka sama, jak odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od środka okręgu, czyli równa \(\displaystyle{ r}\) .

Określam przestrzeń probabilistyczną:
\(\displaystyle{ \Omega}\) : Kula o promieniu \(\displaystyle{ R}\)
F : Rodzina borelowskich podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\)
P : Prawdopodobieństwo geometryczne

Następnie stawiamy opisane powyżej warunki, korzystając z twierdzenia cosinusów:

\(\displaystyle{ \begin{center}
$x^2 = 2r^2 - 2 r^2 \cos\alpha$ \\
$x^2 = 2r^2(1-\cos\alpha)$\\
$\alpha \in [0^\circ , 180^\circ]$\\
\end{center}}\)


Aby nasza mała sfera była wewnątrz dużej kuli, to nasz \(\displaystyle{ x}\) musi spełniać dane warunki:

\(\displaystyle{ \begin{center}
$x \leq R-r $\\
\end{center}}\)


Podana powyżej nierówność pozwala stworzyć sferę, która będzie mieścić się we wnętrzu podanej kuli. Trzeba zaznaczyć też, że kąt \(\displaystyle{ =\alpha}\) odgrywa kluczową rolę w możliwym zakresie istnienie mniejszej sfery.

\(\displaystyle{ \begin{center}
$\sqrt{2}r\sqrt{1-\cos\alpha} \leq R-r$\\
$r(\sqrt{2}\sqrt{1-\cos\alpha}+1) \leq R$\\
$r \leq \frac{R}{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}+1}$\\
\end{center}}\)


I kiedy dochodzę do tego miejsca, nie mam pojęcia jak dalej je ruszyć. Oczywiście wiem, że zadanie jest w trójwymiarze, a tu obliczenia są w dwuwymiarze, jednak zamysł wykonania jest podobny.
Ostatnio zmieniony 4 sty 2018, o 20:40 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieństwo wylosowania sfery wewnątrz kuli

Post autor: janusz47 »

Para punktów \(\displaystyle{ A, B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \set{R}^3}\) może być rozpatrywana jako punkt przestrzeni sześciowymiarowej \(\displaystyle{ (x, y, z, t, u, v)}\), w której \(\displaystyle{ A= (x, y, z), \ \ B= (t, u, v).}\)

Warunki, aby punkty \(\displaystyle{ A, B}\) leżały w kuli \(\displaystyle{ K}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\) mają postać:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2, \ \ t^2 +u^2 + v^2 \leq R^2 .}\)

Objętość bryły określonej tymi nierównościami:

\(\displaystyle{ |\Omega| = \iint\iint\iint_{\{x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2, t^2 +u^2 + v^2 \leq R^2\}} dxdydzdtdudv = \frac{16}{9}\pi^2 R^6}\) (proszę sprawdzić).

Warunek " kula o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) leży wewnątrz kuli \(\displaystyle{ K}\) jest równoważny warunkowi: " \(\displaystyle{ B}\) leży wewnątrz kuli o środku \(\displaystyle{ A}\) stycznej do danej kuli"

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-t)^2 +(y-u)^2 + (z -v)^2}\leq R - \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}.}\)

Jeśli zdefiniujemy zbiory

\(\displaystyle{ V_{1}= \{(x,y,z,t,u,v): x^2 +y^2 +z^2\leq R^2 \wedge \sqrt{(x-t)^2 +(y-u)^2 + (z -v)^2}\leq R - \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}\},}\)

\(\displaystyle{ V_{2}= \{(x,y,z): x^2 +y^2 +z^2 \leq R^2\},}\)

to objętość bryły odpowiadająca rozpatrywanemu zdarzeniu obliczamy za pomocą całki:

\(\displaystyle{ |A| = \iint\iint\iint_{(V_{1})}dxdydzdtdudv = \int\int\int_{(V_{2})} \pi (R - \sqrt{x^2+y^2+z^2})^3 = \frac{16}{180}\pi^2 R^6}\)
(proszę sprawdzić).

Stąd szukane prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\frac{16}{180}\pi^2 R^6}{\frac{16}{9}\pi^2R^6}= \frac{9}{180}= \frac{1}{20}.}\)
ODPOWIEDZ