Mamy w pewnym mieście dwa teatry w których wieczorem jest ten sam spektakl. Oglądać ma go zamiar 100 widzów, którzy losowo i niezależnie wybierają teatr do którego chcą się udać. Iloma miejscami powinien dysponować każdy teatr aby prawdopodobieństwo odesłania, któregoś z klientów z danego teatru z powodu braku miejsc było mniejsze niż 2%?
W jaki sposób rozwiązuje się tego typu zadania z wykorzystaniem twierdzenia granicznego właśnie ?-- 1 sty 2018, o 18:45 --Rozumiem to w ten sposób:
Prawdopodobieństwo wyboru teatru dla każdej osoby to wiadomo \(\displaystyle{ 50%}\).
Teraz weźmy np. 50 miejsc w pierwszym teatrze. Prawdopodobieństwo, że zabraknie miejsc dla chętnych, będzie mniejsze od \(\displaystyle{ 2%}\) gdy chętnych będzie (w tym przypadku) mniej niż 51. Tylko teraz należy to uogólnić. O ile mam rację.
Zastosowanie twierdzenia granicznego.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zastosowanie twierdzenia granicznego.
"Sukces" - widz wybiera dany teatr - jeden z dwóch teatrów - niezależnie od pozostałych widzów.
Mamy więc \(\displaystyle{ n= 100}\) prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}.}\)
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbą sukcesów.
Chcemy znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ N}\) taką, że
\(\displaystyle{ Pr\left(\left\{ X > N +\frac{1}{2}\right\}\right) < 0,02.}\) (1)
Stosujemy twierdzenie graniczne de Moivre'a- Laplace'a, z którego wynika, że zmienna losowa:
\(\displaystyle{ Z = \frac{X - n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\) jest aproksymowana standaryzowanym rozkładem normalnym.
Stosując to twierdzenie i uwzględniając nierówność (1) możemy zapisać:
\(\displaystyle{ X > N +\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{X - n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}} > \frac{N +\frac{1}{2} -n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\)
\(\displaystyle{ Z > N^{*}}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ N^{*} = \frac{N +\frac{1}{2} -n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\)
Chcemy znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ N}\)
taką, że:
\(\displaystyle{ P( \{Z> N^{*}\} ) > 0,98}\)
to znaczy
\(\displaystyle{ \phi(N^{*}) > 0,98.}\)
Z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N( 0, 1)}\) lub programu na przykład R,znajdujemy wartość \(\displaystyle{ N^{*} \approx 2,05,}\)
a następnie przybliżoną wartość \(\displaystyle{ N.}\)
Proszę znaleźć.
Mamy więc \(\displaystyle{ n= 100}\) prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}.}\)
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbą sukcesów.
Chcemy znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ N}\) taką, że
\(\displaystyle{ Pr\left(\left\{ X > N +\frac{1}{2}\right\}\right) < 0,02.}\) (1)
Stosujemy twierdzenie graniczne de Moivre'a- Laplace'a, z którego wynika, że zmienna losowa:
\(\displaystyle{ Z = \frac{X - n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\) jest aproksymowana standaryzowanym rozkładem normalnym.
Stosując to twierdzenie i uwzględniając nierówność (1) możemy zapisać:
\(\displaystyle{ X > N +\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{X - n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}} > \frac{N +\frac{1}{2} -n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\)
\(\displaystyle{ Z > N^{*}}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ N^{*} = \frac{N +\frac{1}{2} -n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}\)
Chcemy znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ N}\)
taką, że:
\(\displaystyle{ P( \{Z> N^{*}\} ) > 0,98}\)
to znaczy
\(\displaystyle{ \phi(N^{*}) > 0,98.}\)
Z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N( 0, 1)}\) lub programu na przykład R,znajdujemy wartość \(\displaystyle{ N^{*} \approx 2,05,}\)
a następnie przybliżoną wartość \(\displaystyle{ N.}\)
Proszę znaleźć.