Dystrybuante a gęstość

[matluk]

Chcę rozwiązać następujące zadanie. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) oraz dystrybuanta tego rozkładu \(\displaystyle{ F}\) jest dana wzorem \(\displaystyle{ F(t)= \int_{-\infty}^{t}g(x)dx}\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g}\) , to \(\displaystyle{ g}\) jest gęstością rozkładu \(\displaystyle{ \mu}\) . Jedynym problemem dla mnie jest pokazanie, że \(\displaystyle{ g}\) jest p.w. nieujemna. Jeżeli to wiem, to dalej korzystam z lematu o \(\displaystyle{ \lambda}\) i \(\displaystyle{ \pi}\) układach i łatwo dostaję rozwiązanie. Proszę o pomoc w udowodnieniu, że \(\displaystyle{ g}\) jest p.w. nieujemna.

[leg14]

Na pewno potrzebujesz nieujemności do skorzystania z lematu o \(\displaystyle{ \lambda}\) i \(\displaystyle{ \pi}\) układach i wyciągnięcia odpowiednich wniosków?

[matluk]

Wydaje mi się, że tak, bo chcę dostać istnienie całki \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx}\) . Później mogę zdefiniować nowy rozkład \(\displaystyle{ \mu_1}\) jako \(\displaystyle{ \mu_1(B)= \int_{B}g(x)dx}\) i dalej korzystam z lematu. Nie wiem jak inaczej pokazać istnienie tej całki niż wykazanie nieujemności funkcji \(\displaystyle{ g}\) .

[leg14]

Istnienie całki masz za darmo. Chyba trochę nie rozumiesz treści lematu. Chcesz pokazać, że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A}\) takich, że \(\displaystyle{ \mu(A)= \int_{A}g(x)dx}\) , gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest rozkładem z treści, jest \(\displaystyle{ \lambda}\) układem. Wnioskujesz, że skoro \(\displaystyle{ \pi}\) układ zbiorów postaci \(\displaystyle{ (- \infty, t]}\) zawiera się w tym \(\displaystyle{ \lambda}\) układzie, to zawiera się w nim \(\displaystyle{ B(\RR
)}\) . Jeśli masz wątpliwości, to proponuję, żebyś wypisał swój dowód przy założeniu, że \(\displaystyle{ g}\) jest rzeczywiście nieujemna. Zobaczymy, czy nie ma jakiś dziur, itp.

[janusz47]

A nie lepiej skorzystać z definicji dystrybuanty:

\(\displaystyle{ F_{\mu}(t) = P_{\mu}( (-\infty, t]) = \lim_{n\to \infty}P_{\mu}((-n, t ])=\lim_{n\to \infty}\int_{-n}^{t}g_{\mu}(x)dx = \int_{-\infty}^{t}g_{\mu}(x)dx\ ?}\)

Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, więc:

\(\displaystyle{ g_{\mu}(x) = \frac{dF_{\mu}}{dx}\geq 0}\)

Albo wykorzystać Pański pomysł, wykazując najpierw, że:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g_{\mu}(x)dx = 1}\)

Z definicji: \(\displaystyle{ P_{\mu}((-n,n]) = \int_{-n}^{n}g_{\mu}(x)dx}\)

\(\displaystyle{ P_{\mu}(R) = \lim_{n\to \infty}P_{\mu}((-n, n])}\) , ale

\(\displaystyle{ P_{\mu}(R) = 1}\) , więc

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g_{\mu}(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int_{-n}^{n}g_{\mu}(x)dx = \lim_{n\to \infty}P_{\mu}(A_{n}) = 1}\)

[leg14]

I tak trzeba skorzystać z lematu o lambda i pi układach - po co tracić energie na wykazywanie, ze \(\displaystyle{ g \ge 0}\) p.w.

[janusz47]

Nie trzeba!

[matluk]

Istnienie całki masz za darmo. Chyba trochę nie rozumiesz treści lematu.

Myślę, że rozumiem dobrze treść lematu. Skąd wynika istnienie tej całki? Bo jeśli wiemy, że istnieje, to wtedy \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx= \lim_{t \to\infty } \int_{-\infty}^{t} g(x)dx=1}\) . Istnieje jakieś twierdzenie odwrotne? Szukałem, ale nie umiem znaleźć. Jeżeli wiem, że istnieje ta całka, to dalej już wiem jak to rozwiązać. Wtedy łatwo jest pokazać, że rodzina, o której wspomniałeś jest \(\displaystyle{ \lambda}\) układem i że równość występująca w definicji tej rodziny zbiorów jest spełniona dla \(\displaystyle{ \pi}\) układu złożonego ze zbiorów postaci \(\displaystyle{ (-\infty,t]}\) i wtedy z lematu otrzymujemy, że równość ta zachodzi dla wszystkich zbiorów borelowskich na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) .

[leg14]

No racja, mea culpa, za dużo całek Riemanna. Trzeba pokazać, że to się całkuje do jedynki. Najlepiej pokazać, ze \(\displaystyle{ g}\) jest nieujemna prawie wszędzie i skorzystać z tw. o zbieżności monotonicznej, tak jak chyba to Janusz proponował.

[matluk]

A może jest prawdziwe twierdzenie odwrotne? Nie umiem jakoś znaleźć kontrprzykładu, że całki
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{t} g(x)dx}\) są skończone i istnieje skończona granica tych całek przy \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\) , a \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx}\) nie istnieje.

[leg14]

Co do wykazania, ze \(\displaystyle{ g}\) jest dodatnia prawie wszędzie (Janusz Twój dowód omija techniczne trudności), to moja propozycja jest następująca. Obetnij funkcje \(\displaystyle{ g}\) do \(\displaystyle{ g \cdot 1_{(-\infty,t]}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ t}\) . Jeśli teraz przeskalujesz tę funkcje, to już wiesz, ze ona się całkuje do \(\displaystyle{ 1}\) na całym RR , ale co więcej, funkcja przez nią wyznaczana (przez całkowanie po przedziałach) wyznacza dystrybuantę pewnego rozkładu. Zatem aplikujesz lemat o \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \lambda}\) układach i masz, że na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, t]}\) funkcja jest nieujemna prawie wszędzie. Wzięliśmy dowolne \(\displaystyle{ t}\) , wiec jest jest nieujemna p.w.

-- 30 gru 2017, o 23:44 --

Marluk, możne się zdarzyć, że taka całka będzie nieskończona, ale \(\displaystyle{ g}\) musiałaby nie być nieujemna p.w.

[janusz47]

Jeżeli \(\displaystyle{ F_{\mu} = \int_{-\infty}^{t}g(x) dx}\) , dla \(\displaystyle{ t\in \RR}\) (1)

wtedy funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest gęstością rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ \mu}\) .

\(\displaystyle{ \rightarrow}\)

Ponieważ, konieczność tego warunku wynika z definicji zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym \(\displaystyle{ A = (-\infty, x), \ x\in \RR}\) , więc pozostaje udowodnić jego dostateczność.

W tym celu zauważmy, że jeżeli warunek (1) jest spełniony, to \(\displaystyle{ g}\) jest całkowalna w sensie Lebesque'a na prostej i

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx =1}\) .

Aby to wykazać definiujemy ciąg \(\displaystyle{ (g_{n})}\) funkcji wzorem:

\(\displaystyle{ g_{n}(t)=\begin{cases}
g(x) & \mbox{gdy} \ x \leq n \\
0 & \mbox{gdy} \ x >n
\end{cases}}\)

Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, zbieżnym w każdym punkcie prostej do funkcji \(\displaystyle{ g}\) .

Ponieważ:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}g_{n}(t)dt = \lim_{n \to \infty}F_{\mu}(n)=1}\) ,

więc z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu pod znakiem całki Lebesque'a wynika, że \(\displaystyle{ g}\) jest całkowalna w sensie Lebesque'a na prostej i

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx = 1}\) .

Stąd i z uwagi na własność przeliczalnej addytywności całki Lebesque'a jako funkcji zbioru otrzymujemy, że wzór:

\(\displaystyle{ P^{*}(A) = \int_{A} g(x) dx}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ A\in \set{B(\RR)}}\) definiuje rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P^{*}}\) na prostej.

Ponieważ \(\displaystyle{ P^{*}}\) i \(\displaystyle{ P_{\mu}}\) mają z założenia równe dystrybuanty, więc są identyczne, co oznacza, że spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ P_{\mu}(A) = \int_{A}g(x) dx}\) dla każdego \(\displaystyle{ \set{A} \in \set{B(\RR)}\) .

\(\displaystyle{ \leftarrow}\)

Załóżmy, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ F_{\mu}}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ \mu}\) taką, że funkcja \(\displaystyle{ g(x) = F'_{\mu}(x)}\) na całej prostej \(\displaystyle{ \RR}\) po za zbiorem miary Lebesque'a zero oraz:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = 1}\) ,

to na mocy lematu Fatou zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x)dx = \int_{a}^{b}\lim_{h\to 0}\inf \frac{G(x+h) - G(x)}{h}dx \leq \lim_{h\to 0}\inf \int_{a}^{b}\frac{G(x+h)- G(x)}{h} =}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{h\to 0}\frac{F_{\mu}(b+h)- F_{\mu}(b)- F_{\mu}(a+h)+F_{\mu}(a)}{h} \leq \\
\leq \lim_{h\to 0}\inf [F_{\mu}(b+ \theta_{1}h) - F_{\mu}(a +\theta_{2}h)]= F_{\mu}(b) - F_{\mu}(a),}\)
\(\displaystyle{ a,b \in \RR, \ a<b , \ \theta_{1},\theta_{2}\in (0, 1)}\) .

Istnienie wielkości \(\displaystyle{ \theta_{1}, \theta_{2}}\) wynika z twierdzenia o wartości średniej.

Z założeń twierdzenia i otrzymanej nierówności dostajemy:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{t}g(x) dx \leq F_{\mu}(t) - F_{\mu}(-\infty) = F_{\mu}(t)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{t} g(x)dx = 1 - \int_{t}^{\infty}g(x)dx \geq 1 - [F_{\mu}(\infty) -F_{\mu}(t)] = F_{\mu}(t)}\) .

c.b.d.o.

[leg14]

Żeby skorzystać z tw. o przechodzeniu z granicą pod calkę musisz mieć, że \(\displaystyle{ g}\) jest nieujemna p.w. (w poprzednim poście pokazałem jak to udowodnić).

[janusz47]

Jak najbardziej!
Twój dowód jest ciekawy.
Co powiesz o wyrazach ciągu \(\displaystyle{ (g_{n})}\) ?

[matluk]

Jeżeli mamy udowodnione, że \(\displaystyle{ g}\) jest nieujemna, to od razu mamy istnienie całki (być może nieskończonej) \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx}\) , a skoro ta całka istnieje, to
\(\displaystyle{ \lambda(A)= \int_{A} g(x)dx, A\in B(\mathbb{R})}\) jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)addytywną funkcją zbioru (korzystam tutaj z twierdzenia, które poznałem na wykładzie, wystarczy istnienie tej całki, niekoniecznie musimy od razu wiedzieć że jest skończona). I z twierdzenia o ciągłości dostajemy \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} g(x)dx= \lim_{t \to \infty} \int_{-\infty}^{t}g(x)dx=1}\) , stąd dostajemy ze ta całka wynosi \(\displaystyle{ 1}\) .

Również uważam pomysł leg14 na udowodnienie nieujemności \(\displaystyle{ g}\) za ciekawy. Ten pomysł z braniem pochodnej z dystrybuanty janusza47 też jest chyba ok, ale rzeczywiście mam z tym pewne problemy, może nie znam na tyle teorii. Dzięki za odpowiedzi.