Prawdopodobieństwo choroby

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Kermit96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 30 lis 2016, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Kermit96 »

Witam!

Badany osobnik z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.4}\) dziedziczy pewną wadę genetyczną. Swoistość testu (wynik negatywny - z określonym prawdopodobieństwem, gdy badana jest zdrowa osoba) wykrywającego wadę wynosi \(\displaystyle{ 0.75}\), a jego czułość \(\displaystyle{ 0.95}\) (wynik pozytywny - z określonym prawdopodobieństwem gdy badana osoba jest chora). Proszę policzyć prawdopodobieństwo tego, że badany osobnik odziedziczy daną wadę genetyczną gdy wykonano mu 3 testy (wyniki kolejno: negatywny, pozytywny, pozytywny).

\(\displaystyle{ CH}\) - osoba jest chora
\(\displaystyle{ Z}\) - osoba jest zdrowa
\(\displaystyle{ -}\) - wynik testu negatywny
\(\displaystyle{ +}\) - wynik testu pozytywny

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH) = 0.4}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z) = 0.6}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(-|Z) = 0.75}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(+|Z) = 0.25}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(-|CH) = 0.05}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(+|CH) = 0.95}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(-) = \mathbb{P}(-|Z)\mathbb{P}(Z)+\mathbb{P}(-|CH)\mathbb{P}(CH)=0.47}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(+)=0.53}\)

Dalej niestety nie wiem co zrobić. Wiem, że chcę wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH| N \cap P \cap P)}\) (czy wiele warunków można zapisywać w sposób w jaki ja to zrobiłem?). Z czego dalej skorzystać?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Premislav »

Czy znany jest Ci wzór Bayesa? Przydałby się. W sumie bez tego nawet nie wiem jak zacząć (chyba tylko od wyprowadzenia wzoru Bayesa ). Przy znajomości tego wzoru można patrzeć na prawdopodobieństwo poszczególnych wyników pod warunkiem, że badany odziedziczył wadę/nie odziedziczył jej, a to jest wygodniejsze.

Aha, oczywiście zapis \(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH| N \cap P \cap P)}\) jest nieszczególnie trafny, bo formalnie dla dowolnego zdarzenia \(\displaystyle{ P}\) mamy \(\displaystyle{ P\cap P=P}\).
Awatar użytkownika
Kermit96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 30 lis 2016, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Kermit96 »

Wzór Bayesa mówi mi, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH|N&P&P) = \frac{\mathbb{P}(N&P&P|CH)\mathbb{P}(CH)}{\mathbb{P}(N&P&P)}}\).

Nie wiem jak inaczej zapisać te testy - proszę o jakąś sugestię.

I jak to mogę dalej ruszyć?

Może doprecyzuję - chodzi o to, że jeżeli byłaby to jedna próba to nie miałbym problemu z opisaniem tego. Natomiast jak podejść do tematu kiedy mamy policzyć prawdopodobieństwo w oparciu o wykonanie kilku testów. Schemat Bernoulliego?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Premislav »

NPP może być (ampersandy się domyślnie nie wyświetlają, nie będę kombinować jak to naprawić, bo nie pamiętam). Dokładniej, możesz zapisać, że
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH|NPP) = \frac{\mathbb{P}(NPP|CH)\mathbb{P}(CH)}{\mathbb{P}(NPP|CH)\mathbb{P}(CH)+\mathbb{P}(NPP|Z)\mathbb{P}(Z)}}\)
i to powinno być o wiele przyjemniejsze do policzenia.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(CH)}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Z)}\) masz dane, wystarczy policzyć dwa prawdopodobieństwa (przyda się niezależność zdarzeń).
Awatar użytkownika
Kermit96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 30 lis 2016, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Kermit96 »

Rozumiem, że \(\displaystyle{ NPP}\), \(\displaystyle{ CH}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są parami niezależne zgadza się?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Premislav »

Oj no nie, ja się też niefortunnie wyraziłem. Chodzi mi o to, że przy ustalonym stanie (\(\displaystyle{ CH}\) albo \(\displaystyle{ Z}\)) prawdopodobieństwo tego, że pierwsze badanie dało wynik negatywny, drugie – pozytywny zaś trzecie – także pozytywny możemy przedstawić jako iloczyn odpowiednich prawdopodobieństw. Tak przynajmniej jest „na logikę".
Awatar użytkownika
Kermit96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 30 lis 2016, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Kermit96 »

Czyli w zasadzie co teraz musimy zrobić? Bo nie widzę zupełnie tej koncepcji...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ NPP}\) to część wspólna zdarzeń: w pierwszym badaniu uzyskano wynik negatywny, w drugim badaniu uzyskano wynik pozytywny, w trzecim badaniu uzyskano wynik pozytywny.
No i np. jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ 1N, 2P, 3P}\) - kolejno odpowiednie zdarzenia (tj. \(\displaystyle{ 1N}\) - w pierwszym badaniu uzyskano wynik negatywny itp.), to \(\displaystyle{ \matbb{P}(NPP|Z)=\mathbb{P}(1N|Z)\cdot \mathbb{P} (2P|Z) \cdot \mathbb{P}(3P|Z)}\) i tak dalej.-- 20 gru 2017, o 10:23 --A może bredzę? W sumie to nie lubię takich zadań, wolę liczenie całek i sum.
Awatar użytkownika
Kermit96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 30 lis 2016, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo choroby

Post autor: Kermit96 »

Wydaje mi się, że tutaj można by skorzystać z tej niezależności: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(NPP|Z) = \mathbb{P}(NPP)}\)
ODPOWIEDZ