Zmienna losowa o danej gęstości.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Zmienna losowa o danej gęstości.

Post autor: pawlo392 »

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f_{X}(t)=Kt^2_{\chi[-1,1]}(t)}\)
Mam problemy bo mam znaleźć wartość\(\displaystyle{ K}\), znaleść rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^2}\) oraz obliczyć wariancje zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^3}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zmienna losowa o danej gęstości.

Post autor: Premislav »

To nie jest trudne zadanie. Wiesz, co to jest gęstość rozkładu prawdopodobieństwa w ogóle? Bo jeśli tak, to chociaż pierwszy punkt powinieneś umieć samodzielnie zrealizować.

Całka z gęstości ma być równa \(\displaystyle{ 1}\) (no i oczywiście jeszcze gęstość musi być nieujemna, ale tutaj taka akurat wyjdzie, jak uwzględnimy ten pierwszy warunek):
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} Kt^2_{\chi[-1,1]}(t)\,\dd t= \int_{-1}^{1}Kt^2 \,\dd t=K \int_{-1}^{1} t^2\,\dd t=\frac 2 3K}\)
Ma być więc \(\displaystyle{ \frac 2 3K=1}\), stąd \(\displaystyle{ K=\frac 3 2}\) .

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^2}\) też nie powinien być wielkim wyzwaniem:
\(\displaystyle{ F_{X^2}(x)=\mathbf{P}(X^2\le x)= \begin{cases}0 \text{ gdy } x\le 0 \\ \mathbf{P}(|X|\le \sqrt{x}) \text{ gdy } x>0 \end{cases}=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)\left( \mathbf{P}(X \le \sqrt{x})-\mathbf{P}(X\le -\sqrt{x})\right)=\\=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)\left( F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{x})\right)}\)
zaś różniczkując dystrybuantę, możesz otrzymać gęstość rozkładu \(\displaystyle{ X^2}\).

Jeśli chodzi o wariancję \(\displaystyle{ X^3}\), jak znasz wzorek, to wiesz, że potrzebujesz do tego:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X^3)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}(X^6)}\), to skorzystaj dwa razy z takiego wzorku:
jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\), zaś \(\displaystyle{ \varphi}\) jest funkcją borelowską, to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\varphi(X)]= \int_{\RR}^{} \varphi(x)f(x)\,\dd x}\)

Masz więc do policzenia:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac 3 2 t^2 \cdot t^3\,\dd t}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac 3 2 t^2 \cdot t^6\,\dd t}\)
– dwie proste całki (ta pierwsza jest jeszcze prostsza, bo funkcja podcałkowa jest nieparzysta, a przedział symetryczny względem zera).
No i wyniki wstawić do wzoru na wariancję.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Zmienna losowa o danej gęstości.

Post autor: pawlo392 »

Dzięki za pomoc. Mam duże zaległości z Prawdopodobieństwa, dlatego pewne rzeczy nie są dla mnie takie oczywiste. Ponowne dzięki za wyjaśnienie.
ODPOWIEDZ