Niezależność i wartość oczekiwana.

[pawlo392]

Wielokrotnie rzucamy kostką. Niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza czas oczekiwania na pierwsze wypadnięcie \(\displaystyle{ i}\) -tej cyfry. Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1}\) oraz \(\displaystyle{ X_6}\) są niezależne?
Wydaje mi się, iż tak. Przecież czas oczekiwania na każdą cyfrę na kostce w np. \(\displaystyle{ k}\) rzutach jest zawsze taki sam, czyli \(\displaystyle{ \frac{k}{6^k}}\) . Zatem korzystając z tej definicji: \(\displaystyle{ P(X \le a)P(Y \le b)=P(X \le a \wedge Y \le b}}\) mam \(\displaystyle{ \frac{k}{6^k} \cdot \frac{k}{6^k}= \frac{k^2}{6^{2k}}}\) .
Kolejne pytanie jest takie: Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza czas oczekiwania, aż w ciągu rzutów pojawią się wszystkie wyniki parzyste. Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) . Tutaj mam mały dylemat. Weźmy sobie sześciokrotny rzut kostką. Mam oczekiwać, iż wszystkie cyfry będą parzyste. W porządku. Ale jeśli np. pierwsze dwa wyniki będą nieparzyste, kolejne cztery parzyste, to przecież mam tutaj zawarty ciąg czterokrotnego rzutu kostką...

[leg14]

Nie są niezależne. Przecież, tak na logikę, jeśli \(\displaystyle{ 1}\) wypadnie jako pierwsze, to już \(\displaystyle{ 2}\) nie może wypaść jako pierwsze.

[pawlo392]

Nie są niezależne. Przecież, tak na logikę, jeśli \(\displaystyle{ 1}\) wypadnie jako pierwsze, to już \(\displaystyle{ 2}\) nie może wypaść jako pierwsze.

Zależy jak interpretujemy treść. Wyszło na to, iż moja interpretacja jest niepoprawna.

[leg14]

Ale jeśli np. pierwsze dwa wyniki będą nieparzyste, kolejne cztery parzyste, to przecież mam tutaj zawarty ciąg czterokrotnego rzutu kostką...

W czym to przeszkadza?

Masz ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_i)}\), gdzie \(\displaystyle{ i}\) to wynik \(\displaystyle{ i}\) -tego rzutu. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza czas oczekiwania na pojawienie się wszystkich wyników parzystych.
Wówczas zdarzenie \(\displaystyle{ X=k}\) , to zdarzenie, w którym \(\displaystyle{ X_k}\) jest parzyste i w ciągu \(\displaystyle{ X_1,...,X_{k-1}}\) wypadły wszystkie liczby parzyste rożne od \(\displaystyle{ X_k}\) i ani razu nie wypadła liczba równa \(\displaystyle{ X_k}\) .

[pawlo392]

Już wiem gdzie w moim myśleniu był problem. Dlaczego nie mogę twierdzić, iż chodzi o ciąg gdzie obok siebie występują parzyste. Wydaje mi się, że treść zadania nie określa tego jednoznacznie. Ale tak utrudniłem sobie zadanie.