Prawdopodobieństwo całkowite, przekładanie kul z urn

[Insigne]

Witam, proszę o pomoc z zadaniem. Prawdopodobieństwo całkowite.

W pierwszej urnie mamy \(\displaystyle{ 5}\) białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych kul. W drugiej urnie mamy \(\displaystyle{ 4}\) białe i \(\displaystyle{ 6}\) czarnych kul. Przenosimy losowo jedną kulę z pierwszej urny do drugiej urny, a następnie z drugiej urny wyciągamy dwie kule.
Jakie jest prawdopodobieństwo,że są one białe?

Z góry dziękuje za pomoc / cenne wskazówki.

[piasek101]

Wiesz, że całkowite.

Na razie drobna podpowiedź :
(obie białe gdy przełożona była biała) lub (obie białe gdy przełożona była czarna).

[Insigne]

\(\displaystyle{ }\)

Wiesz, że całkowite.

Na razie drobna podpowiedź:
(obie białe gdy przełożona była biała) lub (obie białe gdy przełożona była czarna).

Na razie rozpisałem sobie, że:
zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) - to wylosowanie \(\displaystyle{ 2}\) białych kul z drugiej urny
zdarzenie \(\displaystyle{ B_1}\) - to przeniesienie białej kuli z \(\displaystyle{ 1}\) urny do \(\displaystyle{ 2}\) .
zdarzenie \(\displaystyle{ B_2}\) - to przeniesienie czarnej kuli z \(\displaystyle{ 1}\) urny do \(\displaystyle{ 2}\) .
\(\displaystyle{ \Omega = 10}\)
\(\displaystyle{ B_1=\frac{1}{2} \\
B_2=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{20}}\)
Liczę w tym kierunku. Dobrze myślę? Ale zastanawiam się, czy nie trzeba nad zdarzeniem \(\displaystyle{ A}\) pokombinować.

[piasek101]

Trochę mieszasz (i nie stosujesz poprawnie LaTeXa).

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej, a jakie czarnej z pierwszej urny ?

[Insigne]

Trochę mieszasz (i nie stosujesz poprawnie LaTeXa).

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej, a jakie czarnej z pierwszej urny ?

\(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\)

[piasek101]

Ok.
No to teraz, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych z \(\displaystyle{ 2}\) urny
gdy dołożono białą?

[Insigne]

\(\displaystyle{ {11 \choose 2}\cdot\frac{5}{10}}\) ? To samo gdy dołożono czarną?

[piasek101]

Jedenaście nad dwa jest totalnie większe od jedynki - nie może być prawdopodobieństwem.

[Insigne]

Jedenaście nad dwa jest totalnie większe od jedynki - nie może być prawdopodobieństwem.

Po przeniesieniu Białej w drugiej urnie jest \(\displaystyle{ 11}\) kul , czyli \(\displaystyle{ 5}\) białych i \(\displaystyle{ 6}\) czarnych. Losujemy \(\displaystyle{ 2}\) kule z \(\displaystyle{ 11}\) , gdzie \(\displaystyle{ 5}\) kul jest białych.

\(\displaystyle{ P(A|B_1) =}\) \(\displaystyle{ {11 \choose 2} \cdot {5 \choose 1}}\)

Tak powinno być? Możesz mnie poprawić, bo trochę się już gubię w tym.

[piasek101]

Nadal masz dużo (dużo) więcej niż jeden.

Ilość wszystkich zdarzeń (tak zwana omega) to jedenaście nad dwa - i to będzie mianownik.

Natomiast ilość sprzyjających zdarzeń (do licznika), to losowanie dwóch z białych - zatem albo pięć nad dwa (gdy dołożymy białą), albo cztery nad dwa.

PS Znikam - może inni Ci pomogą dalej.

[Insigne]

OK. Dzieki.

Więc wychodzi na to że:

\(\displaystyle{ P(A|B_1) = \frac{4}{22}}\)

\(\displaystyle{ P(A|B_2) = \frac{6}{55}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4}{22} \cdot \frac{5}{10} + \frac{6}{55} \cdot \frac{5}{10} = \frac{8}{55}}\)

Wydaje mi się, że takie jest ostateczne rozwiązanie.

[piasek101]

Niestety nie zgadza się - jeśli \(\displaystyle{ B_1}\) było przeniesieniem białej to wtedy wylosowanie dwóch białych powinno mieć większe prawdopodobieństwo.

Napisz z czego to wyznaczałeś.

[Premislav]

Moim zdaniem Insigne błędnie uznał, że wyciągamy kule jedna po drugiej (wtedy zastosowanie miałby schemat urnowy), a nie dwie jednocześnie, na co wskazywałaby treść.

[SlotaWoj]

Również \(\displaystyle{ P(A|B_2)}\) jest za małe.