Prawdopodobieństwo z elementami statystyki

[ewelina676]

1. Ile jest liczb naturalnych \(\displaystyle{ 3}\)-cyfrowych, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) lub przez \(\displaystyle{ 5}\) ? Jakie jest prawdopodobieństwo, że taka liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 105}\) ?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania w pierwszej ręce różnych układów w grze poker?

3. W stawie jest \(\displaystyle{ M}\) ryb, z których \(\displaystyle{ N}\) to karpie. Niech \(\displaystyle{ k\le N}\) . Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród \(\displaystyle{ M\ge l\ge k}\) wyłowionych ryb jest dokładnie \(\displaystyle{ k}\) karpi?

4. Danych jest \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych kul, które losowo włożono w \(\displaystyle{ n}\) komorach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna komora pozostanie pusta?

5. W urnie jest łącznie \(\displaystyle{ N < 100}\) kul białych oraz czarnych, przy czym nie jest znana ich dokładna liczba. Ile było kul białych, a ile kul czarnych, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej było kwadratem prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej w sytuacji po wyjęciu z urny \(\displaystyle{ 27}\) białych kul i włożeniu \(\displaystyle{ 2}\) czarnych?

6. Dziecko bawi się pięcioma klockami, na których są wyrzeźbione litery \(\displaystyle{ A,A,K,L,L}\) . Dziecko układa losowo klocki, ale nie przekręcając ich na boki, ani do góry nogami. Zakładając, ze wszystkie możliwe ułożenia są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, ze dziecko ułoży napis \(\displaystyle{ LALKA}\) .

7. Mamy \(\displaystyle{ N}\) pałek jednakowej długości. Przypuśćmy, ze każda z nich złamano na dwie części - długa i krótka. Otrzymane \(\displaystyle{ 2N}\) części połączono losowo w pary, które utworzyły nowe pałki. Ile takich par można otrzymać? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie długie części połączono na nowo z krótkimi?

[janusz47]

Zadanie 1

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy "wylosowanie jednej liczby \(\displaystyle{ l \in \{100,101,..., 999\}".}\)

Uznajemy wszystkie zdarzenia elementarne za jednakowo prawdopodobne. Wówczas modelem probabilistycznym rozważanego doświadczenia losowego jest trójka:

\(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P),}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \Omega = \{100,101,..., 999\}}\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) - jest zbiorem (klasą) wszystkich zdarzeń, łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym

\(\displaystyle{ P(\{l\}) = \frac{1}{900}.}\)

Oznaczmy, przez \(\displaystyle{ A}\) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 7,}\) zaś przez \(\displaystyle{ B}\) wylosowanie liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 5.}\)

Obliczmy dodatkowo prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ P(A \cup B).}\)

\(\displaystyle{ |A| = \left[ \frac{900}{7}\right] = \left|128 \frac{4}{7}\right| = 128.}\)

\(\displaystyle{ |B| = \left[\frac{900}{5}\right] =[180] =180}\)

\(\displaystyle{ |A \cap B| = \left[\frac{900}{35}\right] = =\left|\frac{180}{7}\right|=\left |25\frac{5}{7}\right| = 25.}\)

Liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\) lub przez \(\displaystyle{ 5}\) jest \(\displaystyle{ 128 + 180 - 25= 283.}\)

Skorzystaliśmy z symbolu \(\displaystyle{ [ x ]}\), który oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od liczby \(\displaystyle{ x.}\)

Na mocy wzoru na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń:

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).}\)

\(\displaystyle{ P(A\cup B) = \frac{128}{900} + \frac{180}{900} - \frac{25}{900} = \frac{283}{900}}\)

W ten sam sposób obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ C}\) że "wylosowana liczba będzie podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 105".}\)

\(\displaystyle{ |C| = \left[\frac{900}{105}\right] = \left[8\frac{4}{7} \right] = 8.}\)

\(\displaystyle{ P(C) = \frac{8}{900}.}\)

Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw

W wyniku realizacji doświadczenia losowego można oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 31\%}\) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 7}\) lub przez \(\displaystyle{ 5,}\) oraz w \(\displaystyle{ 0,8(8)\%}\) liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 105.}\)

[Belf]

Zad. 3)

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= {M \choose l}}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right|= {N \choose k}\cdot {M-N \choose l-k}}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega\right| }}\)-- 15 gru 2017, o 12:13 --Zad. 6)

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| =5!}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right|=2!\cdot 2!}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega\right| }}\)