Warunkowa wartość oczekiwana względem sigma ciała

[Bratka2406]

Gdy mam \(\displaystyle{ X}\) - zmienną losową mierzalną względem sigma ciała \(\displaystyle{ F_{t}}\), \(\displaystyle{ Y}\) - zmienną losową niezależną od \(\displaystyle{ F_{t}}\) oraz \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) - pewną funkcję, to równość: \(\displaystyle{ E(XY| F_{t})=E(XY)}\) jest dla mnie zrozumiała. Mam problem jednak z równością: \(\displaystyle{ E(f(XY)| F_{t})=E(f(XY))}\). Dlaczego tak jest?

[leg14]

Pierwsza równosc nie jest prawdziwa. Skad ja masz?

[Bratka2406]

Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową \(\displaystyle{ F_{t}}\) mierzalną to mogę ją wyłączyć przed znak wartości oczekiwanej zatem mam \(\displaystyle{ XE(Y| F_{t})}\). Skoro \(\displaystyle{ Y}\) jest niezależna od \(\displaystyle{ F_{t}}\) to otrzymuję \(\displaystyle{ XE(Y|F_{t})=XE(Y)=E(XY)}\).

[leg14]

No i ostatnia rownosc nie jest prawdziwa. Przeciez po prawej masz liczbe, a po lewej zmienna losowa

[Bratka2406]

Faktycznie, kompletnie o tym nie pomyślałam. Ale w takim razie skąd ta równość z funkcją f? \(\displaystyle{ E(f(XY)|F_{t})=E(f(XY))}\)?

[leg14]

Tez jest nieprawdziwa

[Bratka2406]

Ta równość jest z książki Jakubowksiego i dalej na niej opierają się inne równania, więc chyba nie powinno być błędu.

[Spektralny]

Zacytuj dokładnie fragment o którym mowa i podaj proszę numer strony.

[Bratka2406]

Jak wiemy, \(\displaystyle{ S_{T}=S_{t}Z_{t}}\), gdzie \(\displaystyle{ Z_{t}= \prod_{j=t+1}^{T}U_{j}}\),
a więc

\(\displaystyle{ V_{t}(\varphi)=(1+r)^{t-T}E(h(S_{T})|F_{t})=(1+r)^{t-T}E(h(S_{t}Z_{t}))=f(t,S_{t})}\).

To jest strona 70, równanie (2.3.9).

[leg14]

Czy \(\displaystyle{ S_{T}}\) nie jest przypadkiem niezalezne od \(\displaystyle{ F_t}\)?

[Bratka2406]

\(\displaystyle{ h(S_{T})}\) jest \(\displaystyle{ F_{T}}\) mierzalne, \(\displaystyle{ F_{t}=\sigma(S_{0},S_{1},\dots , S_{t})}\), \(\displaystyle{ t<T}\). Stąd mamy, że \(\displaystyle{ F_{T}}\) jest bogatszym sigma ciałem niż \(\displaystyle{ F_{t}}\). Czy to jest równoważne z tym, że \(\displaystyle{ h(S_{T})}\) jest niezależna od \(\displaystyle{ F_{t}}\)?

[leg14]

Czym sa \(\displaystyle{ U_j}\)?

[Bratka2406]

\(\displaystyle{ U_{t}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, \(\displaystyle{ F_{t}=\sigma(U_{1},\dots ,U_{t})}\) oraz \(\displaystyle{ Z_{t}= \prod_{j=t+1}^{T}U_{j}}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ F_{t}}\).

[leg14]

no to moment, bo podalas dwie rozne definicje sigma-ciala \(\displaystyle{ F_t}\). Ktora jest wlasciwa?

[Bratka2406]

Według książki \(\displaystyle{ F_{t}=\sigma(S_{0}, S_{1}, \dots , S_{t})=\sigma(U_{1}, \dots , U_{t})}\).